Calcule a concentração das espécies
iii) \mathrm{H}_{2} \mathrm{Y}^{2-} em uma solução 0,010 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de EDTA tamponada em pH 10 . (
Dados: \mathrm{k}_{\mathrm{a} 1}=1,02 \times 10^{-2} ; \mathrm{k}_{\mathrm{a} 2}=2,14 \times 10^{-3} ; \mathrm{k}_{\mathrm{a} 3}=6,9 \times 10^{-7} ; \mathrm{k}_{\mathrm{a} 4}=5,5 \times 10^{-11}

Passo 1

O enunciado pede a concentração da espécie \mathrm{H_{2}Y^{2-}} numa solução de EDTA com concentração analítica \,0,010\\ \mathrm{mol/L}\, a \mathrm{pH}=10. Dados fornecidos:
\begin{aligned} & C_T = 0,010\\ \mathrm{mol/L} \quad\text{(concentração total de todas as formas do EDTA)}\\\ & \mathrm{pH}=10 \Rightarrow [\mathrm{H^+}]=10^{-10}\\ \mathrm{mol/L}\\\ & k_{a1}=1,02\times 10^{-2}\\\ & k_{a2}=2,14\times 10^{-3}\\\ & k_{a3}=6,9\times 10^{-7}\\\ & k_{a4}=5,5\times 10^{-11} \end{aligned}çã
Queremos calcular a concentração numérica de \mathrm{H_{2}Y^{2-}} (em \mathrm{mol/L}).

Passo 2

Vamos escrever as relações entre as espécies a partir das constantes de acidez sucessivas. Seja \mathrm{H_4Y} a forma totalmente protonada e denote h=[\mathrm{H^+}]. As concentrações relativas podem ser escritas usando as constantes passo a passo:
\begin{aligned} [\mathrm{H_4Y}] &= [\mathrm{H_4Y}]\\[4pt] [\mathrm{H_3Y^-}] &= \frac{k_{a1}}{h}\,[\mathrm{H_4Y}]\\[4pt] [\mathrm{H_2Y^{2-}}] &= \frac{k_{a1}k_{a2}}{h^2}\,[\mathrm{H_4Y}]\\[4pt] [\mathrm{HY^{3-}}] &= \frac{k_{a1}k_{a2}k_{a3}}{h^3}\,[\mathrm{H_4Y}]\\[4pt] [\mathrm{Y^{4-}}] &= \frac{k_{a1}k_{a2}k_{a3}k_{a4}}{h^4}\,[\mathrm{H_4Y}]. \end{aligned}
A concentração total analítica C_T é a soma de todas as formas:
C_T = [\mathrm{H_4Y}]\left(1 + \frac{k_{a1}}{h} + \frac{k_{a1}k_{a2}}{h^2} + \frac{k_{a1}k_{a2}k_{a3}}{h^3} + \frac{k_{a1}k_{a2}k_{a3}k_{a4}}{h^4}\right).
Definimos o denominador
D \equiv 1 + \frac{k_{a1}}{h} + \frac{k_{a1}k_{a2}}{h^2} + \frac{k_{a1}k_{a2}k_{a3}}{h^3} + \frac{k_{a1}k_{a2}k_{a3}k_{a4}}{h^4}.
A fração da espécie \mathrm{H_2Y^{2-}} (ou seja, \alpha_{H_2Y^{2-}}) é
\alpha_{H_2Y^{2-}}=\frac{\dfrac{k_{a1}k_{a2}}{h^2}}{D}.
A concentração procurada é então
[\mathrm{H_2Y^{2-}}] = \alpha_{H_2Y^{2-}}\; C_T.]

Passo 3

Agora vamos calcular numericamente todos os termos usando h=10^{-10}\\ \mathrm{mol/L}.
Primeiro calcule os produtos das constantes:
\begin{aligned} k_{a1}k_{a2} &= (1,02\times 10^{-2})(2,14\times 10^{-3}) = 2,1828\times 10^{-5},\\[4pt] k_{a1}k_{a2}k_{a3} &= 2,1828\times 10^{-5}\times 6,9\times 10^{-7} = 1,506132\times 10^{-11},\\[4pt] k_{a1}k_{a2}k_{a3}k_{a4} &= 1,506132\times 10^{-11}\times 5,5\times 10^{-11} = 8,283726\times 10^{-22}. \end{aligned}
Agora cada termo do denominador D:
\begin{aligned} 1 &= 1,\\[4pt] \frac{k_{a1}}{h} &= \frac{1,02\times 10^{-2}}{10^{-10}} = 1,02\times 10^{8},\\[4pt] \frac{k_{a1}k_{a2}}{h^2} &= \frac{2,1828\times 10^{-5}}{(10^{-10})^2} = 2,1828\times 10^{15},\\[4pt] \frac{k_{a1}k_{a2}k_{a3}}{h^3} &= \frac{1,506132\times 10^{-11}}{(10^{-10})^3} = 1,506132\times 10^{19},\\[4pt] \frac{k_{a1}k_{a2}k_{a3}k_{a4}}{h^4} &= \frac{8,283726\times 10^{-22}}{(10^{-10})^4} = 8,283726\times 10^{18}. \end{aligned}
Somemos para obter D:
\begin{aligned} D &= 1 + 1,02\times 10^{8} + 2,1828\times 10^{15} + 1,506132\times 10^{19} + 8,283726\times 10^{18}\\[4pt] &\approx 2,3347266\times 10^{19}. \end{aligned}
(Observe que os termos de maior ordem em 10^{19} dominam o denominador; os termos menores são numericamente desprezíveis em comparação, mas eu os somei para precisão.)
A fração \alpha_{H_2Y^{2-}} é:
\alpha_{H_2Y^{2-}} = \frac{2,1828\times 10^{15}}{2,3347266\times 10^{19}} \approx 9,352\times 10^{-5}.
Finalmente, a concentração:
[\mathrm{H_2Y^{2-}}] = \alpha_{H_2Y^{2-}}\; C_T = (9,352\times 10^{-5})(0,010\\ \mathrm{mol/L}) = 9,352\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol/L}.]

Passo 4

Interpretação e dica rápida de prova: a maior parte do EDTA a \mathrm{pH}=10 encontra-se nas formas mais desprotonadas ( \mathrm{HY^{3-}} e \mathrm{Y^{4-}}), o que explica porque [\mathrm{H_2Y^{2-}}] fica muito pequeno (ordem de 10^{-7}\\ \mathrm{mol/L}). Em prova, você pode calcular os termos k_{a1}k_{a2}/h^2, k_{a1}k_{a2}k_{a3}/h^3 e comparar ordens de grandeza para decidir se pode desprezar termos menores antes de somar — isso economiza tempo.

Resposta

9,35\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol/L}

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