Calcule a concentração das espécies
ii) \mathrm{HY}^{3-} em uma solução 0,010 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de EDTA tamponada em pH 10 . (
Dados: \mathrm{k}_{\mathrm{a} 1}=1,02 \times 10^{-2} ; \mathrm{k}_{\mathrm{a} 2}=2,14 \times 10^{-3} ; \mathrm{k}_{\mathrm{a} 3}=6,9 \times 10^{-7} ; \mathrm{k}_{\mathrm{a} 4}=5,5 \times 10^{-11}

Passo 1

O enunciado pede a concentração da espécie \mathrm{HY}^{3-} numa solução de EDTA com concentração total 0,010\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} tamponada em pH 10.
Informações dadas:
C_T = 0,010\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
\mathrm{pH}=10 \implies [\mathrm{H^+}]=10^{-10}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
Constantes de acidez (fornecidas):
K_{a1}=1{,}02\times10^{-2},\quad K_{a2}=2{,}14\times10^{-3},\quad K_{a3}=6{,}9\times10^{-7},\quad K_{a4}=5{,}5\times10^{-11}.
Observação das espécies de EDTA (com n=4 prótons): \mathrm{H_4Y},\\ \mathrm{H_3Y^-},\\ \mathrm{H_2Y^{2-}},\\ \mathrm{HY^{3-}},\\ \mathrm{Y^{4-}}. A soma das concentrações dessas espécies é C_T. Neste problema queremos [\mathrm{HY}^{3-}].

Passo 2

Conceito importante (passo a passo, sem pressa): as constantes de dissociação passo a passo relacionam as concentrações das espécies vizinhas por
K_{a1}=\frac{[\mathrm{H_3Y^-}][\mathrm{H^+}]}{[\mathrm{H_4Y}]},\quad K_{a2}=\frac{[\mathrm{H_2Y^{2-}}][\mathrm{H^+}]}{[\mathrm{H_3Y^-}]},\quad\text{etc.}
A ideia é expressar cada espécie em função de uma (por exemplo [\mathrm{H_4Y}]) e de [\mathrm{H^+}] e dos K_{ai}. Isso leva à fórmula de fração de espécies (alfa) para ácidos polipróticos.

Passo 3

Derivação da fração de espécie de forma didática: para um ácido com n prótons (aqui n=4), a concentração da espécie com i deprotonações (ou seja, i prótons removidos) é proporcional a
[\mathrm{H_{n-i}Y^{i-}}]\propto [\mathrm{H^+}]^{\,n-i}\prod_{j=1}^{i}K_{aj},
onde o produto vazio (para i=0) vale 1. Portanto a fração molar (alfa) dessa espécie é
\alpha_i=\frac{\left(\prod_{j=1}^{i}K_{aj}\right)[\mathrm{H^+}]^{\,n-i}}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\prod_{j=1}^{k}K_{aj}\right)[\mathrm{H^+}]^{\,n-k}}.
Aqui \alpha_i é a fração da concentração total C_T que está na forma com i deprotonações:
[\text{espécie com }i\text{ deprotonações}] = \alpha_i\;C_T.éçõ

Passo 4

Identificação do índice para \mathrm{HY}^{3-}: para n=4 prótons, a espécie \mathrm{HY}^{3-} tem i=3 deprotonações (porque H_4Y \xrightarrow{\;1\;}\! H_3Y^- \xrightarrow{\;2\;}\! H_2Y^{2-} \xrightarrow{\;3\;}\! HY^{3-}). Assim, usando a fórmula do passo anterior, a fração \alpha_3 é
\alpha_3=\frac{K_{a1}K_{a2}K_{a3}\,[\mathrm{H^+}]^{\,1}}{[\mathrm{H^+}]^{\,4}+K_{a1}[\mathrm{H^+}]^{\,3}+K_{a1}K_{a2}[\mathrm{H^+}]^{\,2}+K_{a1}K_{a2}K_{a3}[\mathrm{H^+}]+K_{a1}K_{a2}K_{a3}K_{a4}}.

Passo 5

Calcular numericamente os termos necessários. Primeiro [\mathrm{H^+}]:
[\mathrm{H^+}]=10^{-10}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Produtos de K_a:
K_{a1}K_{a2}=1{,}02\times10^{-2}\times2{,}14\times10^{-3}=2{,}1828\times10^{-5}.
K_{a1}K_{a2}K_{a3}=2{,}1828\times10^{-5}\times6{,}9\times10^{-7}=1{,}50613\times10^{-11}\\ (\text{aprox. }1{,}506\times10^{-11}).
K_{a1}K_{a2}K_{a3}K_{a4}=1{,}50613\times10^{-11}\times5{,}5\times10^{-11}=8{,}2837\times10^{-22}.

Passo 6

Agora calcule cada termo do denominador (usando [\mathrm{H^+}]=10^{-10}):
[\mathrm{H^+}]^{4}=(10^{-10})^{4}=10^{-40}.
K_{a1}[\mathrm{H^+}]^{3}=1{,}02\times10^{-2}\times10^{-30}=1{,}02\times10^{-32}.
K_{a1}K_{a2}[\mathrm{H^+}]^{2}=2{,}1828\times10^{-5}\times10^{-20}=2{,}1828\times10^{-25}.
K_{a1}K_{a2}K_{a3}[\mathrm{H^+}]=1{,}50613\times10^{-11}\times10^{-10}=1{,}50613\times10^{-21}.
K_{a1}K_{a2}K_{a3}K_{a4}=8{,}2837\times10^{-22}.

Passo 7

Somando os termos do denominador (os primeiros três são desprezivelmente pequenos frente aos últimos dois, mas vamos somar todos):
D=10^{-40}+1{,}02\times10^{-32}+2{,}1828\times10^{-25}+1{,}50613\times10^{-21}+8{,}2837\times10^{-22}.
Os termos relevantes são os dois últimos:
D\approx 1{,}50613\times10^{-21}+8{,}2837\times10^{-22}=2{,}33450\times10^{-21}.

Passo 8

Calcule \alpha_3 (numerador = K_{a1}K_{a2}K_{a3}[\mathrm{H^+}]):
\text{numerador}=1{,}50613\times10^{-21}.
\alpha_3=\frac{1{,}50613\times10^{-21}}{2{,}33450\times10^{-21}}\approx0{,}6455.

Passo 9

Finalmente, a concentração de \mathrm{HY}^{3-} é
[\mathrm{HY}^{3-}]=\alpha_3\;C_T=0{,}6455\times0{,}010\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}=0{,}006455\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Arredondando a três algarismos significativos: 0{,}00646\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Resposta

[\mathrm{HY}^{3-}]=0,00646\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

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