Calcule a concentração de íon hidróxido em uma solução amônia 0,0750 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. O \mathrm{K}_{\mathrm{a}} do ácido conjugado da amônia é 5,7 \times 10^{-10}. Resp.: 1,15 \times 10^{-3} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a concentração do íon hidróxido na solução de amônia.
Dados fornecidos:
\text{concentração inicial de amônia } = 0,0750\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}çãô
K_a(\text{ácido conjugado } \mathrm{NH}_4^+) = 5,7 \times 10^{-10}á
Não há outras informações no enunciado; assumimos temperatura 25^\circ\mathrm{C} (logo K_w = 1,0 \times 10^{-14}).

Passo 2

Entendendo a relação entre K_a e K_b: para um par conjugado ácido-base (aqui \mathrm{NH}_4^+/\mathrm{NH}_3) vale a relação
K_a \cdot K_b = K_w,
onde K_w é o produto iônico da água. Portanto calculamos K_b da amônia como
K_b = \frac{K_w}{K_a} = \frac{1,0 \times 10^{-14}}{5,7 \times 10^{-10}}.
Agora fazemos a divisão (mostrando os passos):
K_b = \frac{1,0}{5,7} \times 10^{-14-(-10)} = 0,1754386\ldots \times 10^{-4} = 1,754386\ldots \times 10^{-5}.
Arredondando razoavelmente:
K_b \approx 1,7544 \times 10^{-5}.

Passo 3

Montando a tabela de equilíbrio para a base \mathrm{NH}_3:
reação:
\mathrm{NH}_3 + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{NH}_4^+ + \mathrm{OH}^-.
ICE (Initial, Change, Equilibrium):
\begin{array}{lcccr} & [\mathrm{NH}_3] & [\mathrm{NH}_4^+] & [\mathrm{OH}^-] \\\ \text{inicial} & 0,0750 & 0 & 0 \\\ \text{variação} & -x & +x & +x \\\ \text{equilíbrio} & 0,0750 - x & x & x \end{array}çãí
A expressão de K_b é
K_b = \frac{[\mathrm{NH}_4^+][\mathrm{OH}^-]}{[\mathrm{NH}_3]} = \frac{x\cdot x}{0,0750 - x} = \frac{x^2}{0,0750 - x}.
Queremos [ \mathrm{OH}^- ] = x.

Passo 4

Usando a aproximação usual quando x \ll concentração inicial: assumimos 0,0750 - x \approx 0,0750. Isso simplifica a expressão para
x \approx \sqrt{K_b \cdot 0,0750}.
Calculando o produto dentro da raiz:
K_b \cdot 0,0750 \approx 1,754386 \times 10^{-5} \times 0,0750 = 1,3157895 \times 10^{-6}.
Agora a raiz quadrada:
x \approx \sqrt{1,3157895 \times 10^{-6}} \approx 0,00114708\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
Arredondando ao número de dígitos coerente com os dados:
x \approx 1,15 \times 10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.

Passo 5

Verificação da validade da aproximação: calculamos a fração dissociada aproximada
\frac{x}{0,0750} \approx \frac{0,00114708}{0,0750} \approx 0,0153 = 1,53\%.
Como isto é bem menor que 5\%, a aproximação 0,0750 - x \approx 0,0750 é válida para esta situação. (Se quisesse, poderíamos resolver a equação quadrática exata x^2 + K_b x - K_b\cdot 0,0750 = 0 e obter um valor praticamente idêntico.)

Passo 6

Conclusão final e incentivo: a concentração de íon hidróxido na solução de amônia 0,0750\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}, usando K_a(\mathrm{NH}_4^+)=5,7\times10^{-10} e K_w=1,0\times10^{-14}, é aproximadamente 1,15\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}. Mandou bem procurando a resolução passo a passo — está indo bem, continua assim!

Resposta

1,15 \times 10^{-3}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}

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