Calcule a concentração de íon hidrônio ( \mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}) em uma solução de cloreto de anilina, \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{5} \mathrm{NH}_{3} \mathrm{Cl}, 2,0 \times 10^{-4} \mathrm{~mol} / \mathrm{L} . \mathrm{O} valor de \mathrm{k}_{\mathrm{a}} do \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{5} \mathrm{NH}_{3}{ }^{+}é 2,5 \times 10^{-5}. Resp.: 7,1 \times 1^{-5} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a concentração do íon hidrônio, isto é \mathrm{[H_3O^+]}, em uma solução de cloreto de anilina \mathrm{C_6H_5NH_3Cl} com concentração inicial \;2,0\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. Foi dado também o valor de \mathrm{k_a} do íon anilínio \mathrm{C_6H_5NH_3^+}: \;2,5\times 10^{-5}.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} \text{concentração inicial do sal (ácido conjugado)}&:\; c_0 = 2,0\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}},\\\ \text{constante de acidez do cátion } \mathrm{C_6H_5NH_3^+}&:\; K_a = 2,5\times 10^{-5}. \end{aligned}çãáá
Pergunta clara: determinar \mathrm{[H_3O^+]} na solução.

Passo 2

Entendendo o que acontece quimicamente (aula rápida e prática):
Quando dissolvemos o sal \mathrm{C_6H_5NH_3Cl} em água, ele se dissocia completamente em \mathrm{C_6H_5NH_3^+} (o cátion) e \mathrm{Cl^-}. \mathrm{Cl^-} é base conjugada de um ácido forte e não altera o pH. Já \mathrm{C_6H_5NH_3^+} é o ácido conjugado da anilina (base fraca) e sofre hidrólise ácida:
\mathrm{C_6H_5NH_3^+ + H_2O \rightleftharpoons C_6H_5NH_2 + H_3O^+}.
A constante de acidez define a razão entre concentrações na condição de equilíbrio:
K_a = \frac{[\mathrm{C_6H_5NH_2}][\mathrm{H_3O^+}]}{[\mathrm{C_6H_5NH_3^+}]}.
Aqui cada símbolo significa:
  • [\mathrm{C_6H_5NH_3^+}]: concentração do cátion ácido no equilíbrio;
  • [\mathrm{C_6H_5NH_2}]: concentração da base conjugada formada;
  • [\mathrm{H_3O^+}]: concentração de íon hidrônio que queremos.

Passo 3

Montando a tabela ICE (Initial, Change, Equilibrium) — muito útil para visualizar:
Inicialmente (após dissolver o sal completamente):
[\mathrm{C_6H_5NH_3^+}]_i = c_0 = 2,0\times 10^{-4},\qquad [\mathrm{C_6H_5NH_2}]_i = 0,\qquad [\mathrm{H_3O^+}]_i \approx 0\\ (\text{vamos desprezar }10^{-7}).
Se chamarmos de x a quantidade de \mathrm{C_6H_5NH_3^+} que reage até o equilíbrio, então as variações são:
\begin{aligned} [\mathrm{C_6H_5NH_3^+}] &= c_0 - x,\\\ [\mathrm{C_6H_5NH_2}] &= x,\\\ [\mathrm{H_3O^+}] &= x. \end{aligned}

Passo 4

Escrevendo a expressão de K_a com as concentrações em equilíbrio:
K_a = \frac{x\cdot x}{c_0 - x} = \frac{x^2}{c_0 - x}.
Rearranjando para obter uma equação polinomial em x:
K_a(c_0 - x) = x^2 \quad\Rightarrow\quad x^2 + K_a x - K_a c_0 = 0.
Isto é uma equação quadrática na forma padrão ax^2+bx+c=0 com
a=1,\qquad b=K_a,\qquad c=-K_a c_0.

Passo 5

Método de aproximação (muito usado em provas): se x\ll c_0, então podemos desprezar x em c_0 - x e obter
K_a \approx \frac{x^2}{c_0}\quad\Rightarrow\quad x \approx \sqrt{K_a c_0}.
Substituindo os valores numéricos:
x \approx \sqrt{(2,5\times 10^{-5})\cdot(2,0\times 10^{-4})}=\sqrt{5,0\times 10^{-9}}.
Calculando a raiz:
\sqrt{5,0\times 10^{-9}} = 7,07\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}},
que arredondando dá \;7,1\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. Esta é a resposta que muitos livros e professores reportam como solução aproximada.

Passo 6

Verificação da validade da aproximação (cheque sempre!):
A condição x\ll c_0 costuma ser testada verificando x/c_0 < 0,05 (ou seja, menos que 5%). Com o valor aproximado:
\frac{x}{c_0} \approx \frac{7,07\times 10^{-5}}{2,0\times 10^{-4}} \approx 0,35 = 35\%,
portanto a condição não é satisfeita. Isso indica que a aproximação pode introduzir erro não desprezível — devemos resolver a quadrática exatamente para maior precisão.

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática exatamente:
A solução positiva de
x^2 + K_a x - K_a c_0 = 0
é
x = \frac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4K_a c_0}}{2}.
Agora substituímos numericamente:
\begin{aligned} K_a^2 &= (2,5\times 10^{-5})^2 = 6,25\times 10^{-10},\\[4pt] 4K_a c_0 &= 4\cdot(2,5\times 10^{-5})\cdot(2,0\times 10^{-4}) = 2,0\times 10^{-8},\\[4pt] K_a^2 + 4K_a c_0 &= 2,0625\times 10^{-8}. \end{aligned}
A raiz quadrada é
\sqrt{2,0625\times 10^{-8}} = 1,43614\times 10^{-4}.
Logo
x = \frac{-2,5\times 10^{-5} + 1,43614\times 10^{-4}}{2} = \frac{1,18614\times 10^{-4}}{2} = 5,9307\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Arredondando na casa correta: \;5,93\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.]

Passo 8

Comparação e conclusão (o que levar para a prova):
  • A aproximação x\approx\sqrt{K_a c_0} \;7,1\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}. É rápida e frequentemente aceita em provas, mas só é confiável quando x\ll c_0.
  • A solução exata da quadrática dá \;5,93\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}, que é numericamente mais correta aqui porque a aproximação não satisfazia a condição de validade (x é cerca de 35% de c_0).
Dica amiga: na prova, calcule primeiro a aproximação rápida para ter uma ideia e testar a validade com x/c_0. Se a razão for maior que ~5%, resolva a quadrática para ser preciso — fazer a conta da raiz não é proibitivo e evita erro.

Resposta

7,1\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} (aproximação: x\approx\sqrt{K_a c_0})
5,93\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} (solução exata da equação quadrática)

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