Calcule a concentração de íons acetato \left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{COO}^{-}\right), íons \mathrm{H}^{+}e o valor de pH nas seguintes soluções:
um litro de solução de ácido acético na concentração de 0,20 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1};

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, para uma solução de 1 litro de ácido acético com concentração inicial 0,20\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}, as seguintes grandezas: a concentração dos íons acetato \left(\mathrm{CH_{3}COO^{-}}\right), a concentração dos íons \mathrm{H^{+}} e o valor do pH.
Informações dadas que vamos usar: a concentração inicial do ácido acético é \;c_0=0,20\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} e o volume é 1\\ \mathrm{L} (o que significa que a concentração molar já é a que importa). Não há outras informações explícitas no enunciado, então vou usar o valor conhecido da constante de ionização do ácido acético:
K_a = 1{,}8\times 10^{-5}.

Passo 2

Vou explicar a química básica que usamos: o ácido acético \mathrm{CH_{3}COOH} é um ácido fraco que se ioniza parcialmente em água segundo a reação
\mathrm{CH_{3}COOH \rightleftharpoons H^{+} + CH_{3}COO^{-}}.
A constante de equilíbrio (constante de acidez) é definida por
K_a=\dfrac{[H^{+}]\,[CH_{3}COO^{-}]}{[CH_{3}COOH]},
onde as colchetes indicam concentrações em \mathrm{mol\,L^{-1}}. Vou montar uma tabela do tipo ICE (Inicial, Mudança, Equilíbrio) para organizar as concentrações.

Passo 3

Tabela ICE (concentrações em \mathrm{mol\,L^{-1}}):
\begin{array}{lccc} & \mathrm{CH_{3}COOH} & \rightleftharpoons & H^{+} + CH_{3}COO^{-} \\\ \text{Inicial} & c_0 = 0{,}20 & & 0 \quad\; 0 \\\ \text{Variação} & -x & & +x \quad +x \\\ \text{Equilíbrio} & c_0 - x & & x \quad\; x \end{array}çãí
Aqui x é a quantidade de ácido que se ionizou; no equilíbrio teremos [H^{+}]=x e [CH_{3}COO^{-}]=x.

Passo 4

Agora substituo as concentrações de equilíbrio na expressão de K_a:
K_a = \dfrac{x\cdot x}{c_0 - x} = \dfrac{x^{2}}{c_0 - x}.
Isso gera a equação para x:
x^{2} + K_a\,x - K_a\,c_0 = 0.
É uma equação quadrática em x. Vou resolver usando a fórmula de Bhaskara (só a raiz positiva faz sentido fisicamente):
x=\dfrac{-K_a+\sqrt{K_a^{2}+4K_a c_0}}{2}.

Passo 5

Agora calculo numericamente com K_a=1{,}8\times10^{-5} e c_0=0{,}20:
Primeiro o discriminante:
\Delta = K_a^{2}+4K_a c_0 = (1{,}8\times10^{-5})^{2}+4(1{,}8\times10^{-5})(0{,}20).
\Delta \approx 3{,}24\times10^{-10} + 1{,}44\times10^{-5} \approx 1{,}4400324\times10^{-5}.
A raiz:
\sqrt{\Delta}\approx 3{,}7948\times10^{-3}.
Logo
x \approx \dfrac{-1{,}8\times10^{-5} + 3{,}7948\times10^{-3}}{2} \approx \dfrac{3{,}7768\times10^{-3}}{2} \approx 1{,}888\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Portanto
[H^{+}]=x\approx 1{,}888\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
e
[CH_{3}COO^{-}]=x\approx 1{,}888\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 6

Em muitos exercícios usa-se a aproximação clássica para ácidos fracos quando x\ll c_0, isto é, desprezar x no denominador e escrever
K_a \approx \dfrac{x^{2}}{c_0}\quad\Rightarrow\quad x\approx\sqrt{K_a\,c_0}.
Se eu aplicar essa aproximação:
x\approx\sqrt{(1{,}8\times10^{-5})(0{,}20)}=\sqrt{3{,}6\times10^{-6}}\approx 1{,}897\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Comparei com a solução exata 1{,}888\times10^{-3}: são muito próximas. Para certificar que a aproximação é válida faço a verificação da regra dos 5\%:
\frac{x}{c_0}\times100\% \approx \frac{1{,}888\times10^{-3}}{0{,}20}\times100\% \approx 0{,}94\% < 5\%.
Portanto a aproximação é perfeitamente aceitável aqui.

Passo 7

Calculando o pH: por definição
\mathrm{pH} = -\log_{10}[H^{+}].
Usando o valor exato [H^{+}]=1{,}888\times10^{-3}:
\mathrm{pH} \approx -\log_{10}(1{,}888\times10^{-3}) \approx 2{,}72.
(Se usar a aproximação obtém praticamente o mesmo valor.)

Resposta

[CH_{3}COO^{-}]=1{,}89\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
[H^{+}]=1{,}89\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
\mathrm{pH}=2{,}72

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