Calcule as concentrações de \mathrm{H}_{2} \mathrm{CO}_{3}, \mathrm{HCO}_{3}{ }^{-}, \mathrm{CO}_{3}{ }^{2-}, \mathrm{H}^{+}e \mathrm{OH}^{-}presentes em uma solução 0,0912 \mathrm{M} de \mathrm{Na}_{2} \mathrm{CO}_{3(\mathrm{aq})}. Dados: \mathrm{K}_{\mathrm{a} 1}=4,3 \times 10^{-7}, \mathrm{~K}_{\mathrm{a} 2}=5,6 \times 10^{-11}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as concentrações em equilíbrio de \mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}, \mathrm{HCO}_{3}^{-}, \mathrm{CO}_{3}^{2-}, \mathrm{H}^{+} e \mathrm{OH}^{-} numa solução aquosa de \mathrm{Na}_{2}\mathrm{CO}_{3} de concentração 0,0912\\ \mathrm{M}. Dados fornecidos: \mathrm{K}_{a1}=4,3\times10^{-7} e \mathrm{K}_{a2}=5,6\times10^{-11}.\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{Concentração inicial de } \mathrm{Na}_{2}\mathrm{CO}_{3} = 0,0912\\ \mathrm{M}.çã
Assumirei condição padrão T=25^\circ\mathrm{C} (logo \mathrm{K}_w = 1{,}0\times10^{-14}).\n
Não há imagens ou dados adicionais. A questão é completa e bem formulada.

Passo 2

Entendendo a química do sal: \mathrm{Na}_{2}\mathrm{CO}_{3} é um sal forte que se dissocia completamente em água:
\mathrm{Na}_{2}\mathrm{CO}_{3} \longrightarrow 2\,\mathrm{Na}^{+} + \mathrm{CO}_{3}^{2-}.
Logo a concentração inicial do ânion \mathrm{CO}_{3}^{2-} é igual à concentração do sal:
\left[\mathrm{CO}_{3}^{2-}\right]_0 = 0{,}0912\\ \mathrm{M}.
Inicialmente \left[\mathrm{HCO}_{3}^{-}\right]_0 = 0 e \left[\mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}\right]_0 \approx 0 (desprezível), e a água fornece uma pequena quantidade de \mathrm{H}^{+} e \mathrm{OH}^{-} que vamos incluir nas equações de equilíbrio.

Passo 3

Escrevendo os equilíbrios ácido-base relevantes (carbonato como base diprótica, usada a forma das constantes dos ácidos fornecidas):
  1. Reações (escrevo as bases porque partimos de \mathrm{CO}_{3}^{2-}):
\mathrm{CO}_{3}^{2-} + \mathrm{H}_2\mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{HCO}_{3}^{-} + \mathrm{OH}^{-}
\mathrm{HCO}_{3}^{-} + \mathrm{H}_2\mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3} + \mathrm{OH}^{-}
  1. Relação entre \mathrm{K}_a e \mathrm{K}_b: para um par conjugado ácido-base vale
\mathrm{K}_b = \frac{\mathrm{K}_w}{\mathrm{K}_a}.
Usando \mathrm{K}_w = 1{,}0\times10^{-14}, calculo as constantes de basicidade:
\mathrm{K}_{b1} = \frac{\mathrm{K}_w}{\mathrm{K}_{a2}} = \frac{1{,}0\times10^{-14}}{5{,}6\times10^{-11}} = 1{,}7857\times10^{-4}\approx 1{,}79\times10^{-4},
\mathrm{K}_{b2} = \frac{\mathrm{K}_w}{\mathrm{K}_{a1}} = \frac{1{,}0\times10^{-14}}{4{,}3\times10^{-7}} = 2{,}3256\times10^{-8}\approx 2{,}33\times10^{-8}.
Interpretação: a primeira hidrólise (formação de \mathrm{HCO}_{3}^{-}) é a dominante porque \mathrm{K}_{b1} é bem maior que \mathrm{K}_{b2}.

Passo 4

Faço uma tabela ICE (Initial, Change, Equilibrium) para as duas etapas, introduzindo incógnitas de maneira consistente. Vou chamar:
  • x = quantidade de \mathrm{CO}_{3}^{2-} que reage na primeira etapa formando \mathrm{HCO}_{3}^{-} e \mathrm{OH}^{-};
  • y = quantidade de \mathrm{HCO}_{3}^{-} que reage na segunda etapa formando \mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3} e \mathrm{OH}^{-}.\n
    Assim, concentrações em equilíbrio ficam:
\begin{aligned} \left[\mathrm{CO}_{3}^{2-}\right] &= 0{,}0912 - x,\\\ \left[\mathrm{HCO}_{3}^{-}\right] &= x - y,\\\ \left[\mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}\right] &= y,\\\ \left[\mathrm{OH}^{-}\right] &= x + y\quad(\text{desprezando a contribuição }10^{-7}\text{ inicial}). \end{aligned}çã

Passo 5

Escrevo as expressões das constantes de equilíbrio em termos de x e y.
Para a primeira hidrólise:
\mathrm{K}_{b1} = \frac{\left[\mathrm{HCO}_{3}^{-}\right]\left[\mathrm{OH}^{-}\right]}{\left[\mathrm{CO}_{3}^{2-}\right]} = \frac{(x-y)(x+y)}{0{,}0912 - x}.
Para a segunda hidrólise:
\mathrm{K}_{b2} = \frac{\left[\mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}\right]\left[\mathrm{OH}^{-}\right]}{\left[\mathrm{HCO}_{3}^{-}\right]} = \frac{y(x+y)}{x-y}.
Essas duas equações formam um sistema não-linear em x e y. Observação útil: \mathrm{K}_{b2} é muito menor que \mathrm{K}_{b1} ( 2{,}33\times10^{-8} vs 1{,}79\times10^{-4}), então a segunda reação é muito fraca — esperamos y\ll x. Vou usar isso para simplificar (aplicando depois um teste de validade).

Passo 6

Primeira aproximação: como y é muito pequeno, na expressão de \mathrm{K}_{b1} posso aproximar (x-y)(x+y)\approx x^2 e 0{,}0912-x\approx0{,}0912 se x for pequeno comparado a 0{,}0912. Assim
\mathrm{K}_{b1}\approx \frac{x^2}{0{,}0912}.
Resolve-se para x:
x\approx\sqrt{\mathrm{K}_{b1}\times 0{,}0912}.
Substituindo o valor numérico:
x\approx\sqrt{1{,}7857\times10^{-4}\times 0{,}0912} =\sqrt{1{,}6286\times10^{-5}} \approx 4{,}0355\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.
Arredondando razoavelmente:
x\approx 4{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.

Passo 7

Verifico a validade da aproximação 0{,}0912-x\approx0{,}0912: o erro percentual é
\frac{x}{0{,}0912}\times100\%=\frac{4{,}0355\times10^{-3}}{0{,}0912}\times100\%\approx 4{,}4\%,
que é pequeno (regra prática: <5% é aceitável). Também usei y\ll x; isso ainda será checado.

Passo 8

Agora encontro y usando \mathrm{K}_{b2}. A expressão exata é
\mathrm{K}_{b2}=\frac{y(x+y)}{x-y}.
Como y é esperado muito pequeno comparado a x, faço a aproximação x+y\approx x e x-y\approx x, então
\mathrm{K}_{b2}\approx \frac{y\cdot x}{x}=y.
Portanto
y\approx \mathrm{K}_{b2}\approx 2{,}33\times10^{-8}\\ \mathrm{M}.
Isso confirma y\ll x (porque 2{,}33\times10^{-8}\ll 4{,}04\times10^{-3}), então nossa aproximação é consistente.

Passo 9

Calculando as concentrações finais com x e y encontrados:
\left[\mathrm{CO}_{3}^{2-}\right] = 0{,}0912 - x \approx 0{,}0912 - 4{,}0355\times10^{-3} = 0{,}0871645\\ \mathrm{M}\approx 0{,}0872\\ \mathrm{M}.
\left[\mathrm{HCO}_{3}^{-}\right] = x - y \approx 4{,}0355\times10^{-3} - 2{,}33\times10^{-8} \approx 4{,}0355\times10^{-3}\\ \mathrm{M}\approx 4{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.
\left[\mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}\right] = y \approx 2{,}33\times10^{-8}\\ \mathrm{M}.
\left[\mathrm{OH}^{-}\right] = x + y \approx 4{,}0355\times10^{-3} + 2{,}33\times10^{-8} \approx 4{,}0355\times10^{-3}\\ \mathrm{M}\approx 4{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.
Para \left[\mathrm{H}^{+}\right] uso \mathrm{K}_w=[\mathrm{H}^{+}][\mathrm{OH}^{-}]:
\left[\mathrm{H}^{+}\right]=\frac{\mathrm{K}_w}{\left[\mathrm{OH}^{-}\right]} =\frac{1{,}0\times10^{-14}}{4{,}0355\times10^{-3}} \approx 2{,}48\times10^{-12}\\ \mathrm{M}.

Passo 10

Resumo dos valores (com arredondamento consistente, mantendo algarismos significativos adequados ao dado inicial):
\left[\mathrm{CO}_{3}^{2-}\right]\approx 0{,}0872\\ \mathrm{M}, \quad \left[\mathrm{HCO}_{3}^{-}\right]\approx 4{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{M},
\left[\mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}\right]\approx 2{,}33\times10^{-8}\\ \mathrm{M}, \quad \left[\mathrm{OH}^{-}\right]\approx 4{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{M},
\left[\mathrm{H}^{+}\right]\approx 2{,}48\times10^{-12}\\ \mathrm{M}.
Você mandou bem pedindo passo a passo — fiz as aproximações explícitas e chequei a validade. Se quiser, calculo também o pH ou repito sem aproximação (resolvendo o sistema exato) para comparar, mas para a prova essa abordagem é a mais prática e aceitável.

Resposta

\left[\mathrm{CO}_{3}^{2-}\right]=0{,}0872\\ \mathrm{M}
\left[\mathrm{HCO}_{3}^{-}\right]=4{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{M}
\left[\mathrm{H}_{2}\mathrm{CO}_{3}\right]=2{,}33\times10^{-8}\\ \mathrm{M}
\left[\mathrm{OH}^{-}\right]=4{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{M}
\left[\mathrm{H}^{+}\right]=2{,}48\times10^{-12}\\ \mathrm{M}

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