Calcule as concentrações de todas as espécies presentes em uma solução de HAc 0,050 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}{ }^{-1}, \mathrm{pKa}=4,75

Passo 1

O enunciado dá uma solução de ácido acético com concentração inicial \,0,050\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}\, e pede para calcular as concentrações de todas as espécies presentes em solução. As informações fornecidas são:
  • Concentração inicial do ácido acético: \,[\mathrm{HAc}]_0 = 0,050\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
  • \mathrm{p}K_a = 4,75.
    O que é pedido: determinar em equilíbrio as concentrações de
  • \,[\mathrm{HAc}] (ácido não dissociado),
  • \,[\mathrm{Ac^-}] (base conjugada),
  • \,[\mathrm{H_3O^+}] (íon hidronio, ou \mathrm{H^+}),
  • \,[\mathrm{OH^-}] (íon hidroxila, proveniente da água).

Passo 2

Transformar \mathrm{p}K_a em K_a. Lembre que \mathrm{p}K_a = -\log_{10}(K_a), portanto
K_a = 10^{-\mathrm{p}K_a}.
Substituindo \mathrm{p}K_a = 4,75,
K_a = 10^{-4,75}.
Vamos calcular numericamente esse valor. Usando a relação 10^{-4,75}=10^{-5}\cdot10^{0,25} e sabendo que 10^{0,25}\approx1,7783, obtemos
K_a \approx 1,78\times10^{-5}.
Aqui K_a é a constante de equilíbrio para a reação \mathrm{HAc \rightleftharpoons H^+ + Ac^-}.

Passo 3

Montar a tabela ICE (Inicial, Variação, Equilíbrio) para a dissociação do ácido:
\mathrm{HAc \rightleftharpoons H^+ + Ac^-}
Inicial:
[\mathrm{HAc}]_0 = 0,050,\qquad [\mathrm{H^+}]_0 \approx 0\\ (\text{apenas da água}),\qquad [\mathrm{Ac^-}]_0 = 0.á
Variação:
\mathrm{HAc}: -x,\qquad \mathrm{H^+}: +x,\qquad \mathrm{Ac^-}: +x.
Equilíbrio:
[\mathrm{HAc}] = 0,050 - x,\qquad [\mathrm{H^+}] = x,\qquad [\mathrm{Ac^-}] = x.
Aqui x é a concentração de \mathrm{H^+} (ou de \mathrm{Ac^-}) produzida pela dissociação do ácido.

Passo 4

Escrever a expressão de K_a em termos de x:
K_a = \frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{Ac^-}]}{[\mathrm{HAc}]} = \frac{x\cdot x}{0,050 - x} = \frac{x^2}{0,050 - x}.
Isto leva à equação quadrática
x^2 + K_a\,x - K_a\cdot0,050 = 0.
Explicando a fórmula usada: a equação quadrática resulta de rearranjar \dfrac{x^2}{0,050-x}=K_a para a forma padrão ax^2+bx+c=0. As incógnitas e constantes aqui são:
  • x: concentração de \mathrm{H^+} em equilíbrio (mol L^{-1});
  • K_a: constante de acidez já calculada;
  • 0,050: concentração inicial de ácido.

Passo 5

Resolver a quadrática pelo método exato (fórmula de Bhaskara). A solução positiva para x é
x = \frac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4 K_a \cdot 0,050}}{2}.
Substituindo K_a\approx 1,78\times10^{-5}:
Primeiro calcule os termos:
K_a^2 \approx (1,78\times10^{-5})^2 \approx 3,16\times10^{-10},
4K_a\cdot0,050 \approx 4\cdot1,78\times10^{-5}\cdot0,050 \approx 3,56\times10^{-6}.
Logo o discriminante é
K_a^2 + 4K_a\cdot0,050 \approx 3,56\times10^{-6} + 3,16\times10^{-10} \approx 3,56\times10^{-6}.
Raiz:
\sqrt{K_a^2 + 4K_a\cdot0,050} \approx 1,887\times10^{-3}.
Agora
x \approx \frac{-1,78\times10^{-5} + 1,887\times10^{-3}}{2} \approx \frac{1,869\times10^{-3}}{2} \approx 9,35\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Portanto [\mathrm{H^+}] \approx 9,35\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Observação pedagógica: uma aproximação frequentemente usada é x\approx\sqrt{K_a\cdot C_0}. Aqui isso dá \sqrt{1,78\times10^{-5}\cdot0,050}\approx9,44\times10^{-4}, bem próximo do valor exato 9,35\times10^{-4}. A aproximação é aceitável quando x\ll C_0 (regra prática: erro <5% se x/C_0<0,05); neste caso x/C_0\approx0,0187, então a aproximação seria válida.

Passo 6

Determinar as demais concentrações usando x:
[\mathrm{Ac^-}] = x \approx 9,35\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
[\mathrm{HAc}] = 0,050 - x \approx 0,050 - 9,35\times10^{-4} \approx 0,04907\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Agora calcular [\mathrm{OH^-}] usando a constante de ionização da água \,K_w = 1,0\times10^{-14} 25^\circ\mathrm{C}):
[\mathrm{OH^-}] = \frac{K_w}{[\mathrm{H^+}]} \approx \frac{1,0\times10^{-14}}{9,35\times10^{-4}} \approx 1,07\times10^{-11}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

Passo 7

Resumo numérico e verificação rápida: a soma das cargas/espécies faz sentido (concentração do ácido praticamente não mudou, pequena ionização), percentagem de ionização \approx 1,87\% — consistente com um ácido fraco em concentração moderada.

Resposta

[ \mathrm{HAc} ] = 0,04907\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[ \mathrm{Ac^-} ] = 9,35\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[ \mathrm{H_3O^+} ] = 9,35\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
[ \mathrm{OH^-} ] = 1,07\times10^{-11}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}

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