Calcule a constante de equilíbrio para a reação representada pela equação:
2 \mathrm{Ag}{(\mathrm{s})}+\mathrm{Cu}^{2+} \leftrightharpoons 2 \mathrm{Ag}^{+}+\mathrm{Cu}{(\mathrm{s})}\left(\mathrm{K}=2,66 \times 10^{-16}\right)

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: a reação é
2\,\mathrm{Ag}_{(\mathrm{s})}+\mathrm{Cu}^{2+}\rightleftharpoons 2\,\mathrm{Ag}^{+}+\mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})}.
A tarefa é calcular a constante de equilíbrio K para essa reação. O enunciado já mostra um valor entre parênteses \left(K=2{,}66\times10^{-16}\right), mas vamos calcular K a partir dos potenciais-padrão e das relações termodinâmicas para aprender o procedimento passo a passo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • A energia livre de Gibbs padrão \Delta G^\circ e a constante de equilíbrio K estão relacionadas por
\Delta G^\circ = -RT\ln K,
onde R é a constante dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}) e T é a temperatura absoluta (assumimos T=298{,}15\\ \mathrm{K}, condição padrão).
  • Para células eletroquímicas em condições padrão, também vale
\Delta G^\circ = -nF E^\circ_{\text{cel}},
onde n é o número de mols de elétrons transferidos na reação total, F é a constante de Faraday ( F=96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}}) e E^\circ_{\text{cel}} é a diferença de potenciais-padrão entre cátodo e ânodo.
  • Combinando as duas expressões obtemos a relação prática que usamos:
\ln K = \frac{n F E^\circ_{\text{cel}}}{R T}.
Aqui cada símbolo significa:
  • n: número de elétrons trocados (positivo);
  • F: 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}};
  • E^\circ_{\text{cel}}: potencial-padrão da célula (em volts);
  • R: 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}};
  • T: temperatura em kelvin.

Passo 3

Identificar cátodo e ânodo e calcular E^\circ_{\text{cel}}:
  • Na equação dada, \mathrm{Cu}^{2+} é reduzido a \mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})} (é o cátodo, redução).
  • \mathrm{Ag}_{(\mathrm{s})} é oxidado a \mathrm{Ag}^{+} (é o ânodo, oxidação).
    Usamos potenciais-padrão de redução (tabelas comuns):
E^\circ(\mathrm{Ag}^+/\mathrm{Ag})=+0{,}7996\\ \mathrm{V},
E^\circ(\mathrm{Cu}^{2+}/\mathrm{Cu})\approx+0{,}3400\\ \mathrm{V}.
O potencial-padrão da célula é
E^\circ_{\text{cel}}=E^\circ_{\text{cátodo}}-E^\circ_{\text{ânodo}}=E^\circ(\mathrm{Cu}^{2+}/\mathrm{Cu})-E^\circ(\mathrm{Ag}^+/\mathrm{Ag}).áâ
Substituindo:
E^\circ_{\text{cel}}=0{,}3400-0{,}7996=-0{,}4596\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Determinar n (número de elétrons transferidos):
A semi-reações são (implícitas):
\mathrm{Ag}\to\mathrm{Ag}^+ + e^- \quad(\text{cada Ag perde 1 elétron})é
são 2 átomos de Ag na reação, então o total de elétrons trocados é
n=2.

Passo 5

Calcular \ln K usando a fórmula combinada:
\ln K = \frac{n F E^\circ_{\text{cel}}}{R T}.
Substituindo os valores numéricos:
\ln K = \frac{2\cdot 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}}\cdot(-0{,}4596\\ \mathrm{V})}{8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}\cdot 298{,}15\\ \mathrm{K}}.
Agora as contas passo a passo:
  • Numerador:
2\cdot 96485\cdot(-0{,}4596)=-88\,689{,}012\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}
(obs.: 1\\ \mathrm{V}\cdot\mathrm{C}=1\\ \mathrm{J}, por isso as unidades batem).
  • Denominador:
8{,}314\cdot 298{,}15=2478{,}92\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Dividindo:
\ln K = \frac{-88\,689{,}012}{2478{,}92}\approx -35{,}77.

Passo 6

Calcular K a partir de \ln K:
K = e^{\ln K}=e^{-35{,}77}\approx 2{,}9\times10^{-16}.
Se preferir em potência de dez usando logaritmo decimal:
\log_{10}K=\frac{\ln K}{\ln 10}\approx\frac{-35{,}77}{2{,}3026}\approx -15{,}54,
portanto
K\approx 10^{-15{,}54}\approx 2{,}9\times10^{-16}.
Observação rápida (para te tranquilizar): valores tabulados ligeiramente diferentes de E^\circ (arredondamentos nas tabelas) dão números muito próximos; o enunciado mostra K=2{,}66\times10^{-16}, que difere pouco do valor que calculamos e a diferença vem de pequenas diferenças nos potenciais-padrão usados.

Resposta

K\approx 2{,}9\times10^{-16}

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