Calcule a constante de equilíbrio para a reação representada pela equação:
\mathrm{Pb}{(\mathrm{s})}+2 \mathrm{Ag}^{+}{ }{(\mathrm{aq})} \leftrightharpoons \mathrm{Pb}^{2+}{ }_{(\mathrm{aq})}+2 \mathrm{Ag}(\mathrm{s})\left(\mathrm{K}=3,31 \times 10^{31}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a constante de equilíbrio da reação
\mathrm{Pb}_{(\mathrm{s})}+2\,\mathrm{Ag}^{+}_{(\mathrm{aq})}\rightleftharpoons \mathrm{Pb}^{2+}_{(\mathrm{aq})}+2\,\mathrm{Ag}_{(\mathrm{s})}
As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
  • a equação da reação (acima);
  • o enunciado também mostra entre parênteses um valor: K=3,31\times10^{31}. Vou tratar esse valor como uma referência fornecida pelo enunciado, mas a missão aqui é calcular/obter a constante de equilíbrio a partir dos potenciais padrão e das relações termodinâmicas (mostrarei o cálculo passo a passo e comentarei a comparação com o valor dado).

Passo 2

Conceitos essenciais e a relação que vamos usar (explicando cada termo):
  • A variação de energia livre padrão \Delta G^\circ e a constante de equilíbrio K estão relacionadas por
\Delta G^\circ = -RT\ln K,
onde:
  • R é a constante dos gases ideais, R=8,3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}};
  • T é a temperatura absoluta em kelvin. Aqui usamos a temperatura padrão T=298{,}15\\ \mathrm{K} (25^\circ\mathrm{C}).
  • A energia livre padrão também se relaciona com a força eletromotriz padrão da célula E^\circ_{\text{cel}} por
\Delta G^\circ = -nFE^\circ_{\text{cel}},
onde:
  • n é o número de elétrons trocados na reação redox;
  • F é a constante de Faraday, F=96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}};
  • E^\circ_{\text{cel}} é a diferença de potenciais padrão (em volts) entre o catodo e o anodo.
  • Igualando as duas expressões para \Delta G^\circ obtemos a relação prática que usaremos:
\ln K = \frac{nFE^\circ_{\text{cel}}}{RT} \quad\text{ou}\quad K = \exp\!\left(\frac{nFE^\circ_{\text{cel}}}{RT}\right).
Essas fórmulas são padrão em eletroquímica e termodinâmica; agora vamos identificar n e E^\circ_{\text{cel}}.

Passo 3

Determinar n (número de elétrons trocados).
Na reação dada, o chumbo passa de estado elementar para \mathrm{Pb}^{2+}; isso é uma perda de 2 elétrons. Simultaneamente, cada \mathrm{Ag}^+ ganha 1 elétron para formar \mathrm{Ag}; como há 2 íons \mathrm{Ag}^+, também são 2 elétrons recebidos. Portanto
n=2.
Explicando de forma bem direta: conta-se os elétrons que são trocados para que as meias-reações fiquem balanceadas em elétrons — aqui são 2.

Passo 4

Obter os potenciais padrão das meias-reações e calcular E^\circ_{\text{cel}}.
As meias-reações padrão (retenha que esses valores vêm de tabelas de potenciais padrão) são:
  • redução do prata:
\mathrm{Ag}^+ + e^- \longrightarrow \mathrm{Ag}\qquad E^\circ_{\mathrm{Ag}^+/\mathrm{Ag}}=+0{,}7996\\ \mathrm{V}
  • redução do chumbo:
\mathrm{Pb}^{2+} + 2e^- \longrightarrow \mathrm{Pb}\qquad E^\circ_{\mathrm{Pb}^{2+}/\mathrm{Pb}}\approx -0{,}1260\\ \mathrm{V}
Observação: esses valores são os comuns em tabelas padrão; pequenas variações podem existir conforme a fonte (por exemplo E^\circ_{\mathrm{Pb}^{2+}/\mathrm{Pb}} às vezes aparece arredondado para -0{,}13\\ \mathrm{V}).
Para a reação global escrita, a meia-reação de prata age como redução (catodo) e o chumbo é oxidado (anodo). O potencial padrão da célula é
E^\circ_{\text{cel}} = E^\circ_{\text{catodo}} - E^\circ_{\text{anodo (como redução)}}.çã
Como E^\circ_{\text{catodo}}=E^\circ_{\mathrm{Ag}^+/\mathrm{Ag}} e E^\circ_{\text{anodo (como redução)}}=E^\circ_{\mathrm{Pb}^{2+}/\mathrm{Pb}}çã, temos
E^\circ_{\text{cel}} = 0{,}7996 - (-0{,}1260) = 0{,}9256\\ \mathrm{V}.
(Explicando: subtrai-se o potencial de redução do anodo porque na célula esse par funciona como oxidação; a diferença dá o E° da célula.)

Passo 5

Montar a fórmula numérica para \ln K e substituir constantes.
A relação é
\ln K = \frac{n F E^\circ_{\text{cel}}}{R T}.
Substituindo n=2, F=96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}}, E^\circ_{\text{cel}}=0{,}9256\\ \mathrm{V}, R=8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} e T=298{,}15\\ \mathrm{K}:
\ln K = \frac{2\cdot 96485\cdot 0{,}9256}{8{,}3145\cdot 298{,}15}.

Passo 6

Calcular numericamente passo a passo (mostrando as contas para você poder replicar na prova sem calculadora, com aproximações razoáveis).
  1. Calcular o numerador:
2\cdot 96485 = 192970.
192970\cdot 0{,}9256 \approx 178613{,}0\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  1. Calcular o denominador:
8{,}3145\cdot 298{,}15 \approx 2478{,}96\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  1. Dividir:
\ln K \approx \frac{178613{,}0}{2478{,}96} \approx 72{,}05.
  1. Converter para K:
\log_{10} K = \frac{\ln K}{\ln 10} \approx \frac{72{,}05}{2{,}302585} \approx 31{,}31,
logo
K \approx 10^{31{,}31}\approx 2{,}0\times 10^{31}.

Passo 7

Interpretação e comparação com o valor dado no enunciado.
  • O cálculo usando os potenciais padrão indicados dá
K\approx 2{,}0\times10^{31}.
  • O enunciado mostra K=3{,}31\times10^{31} como referência. Essas diferenças são pequenas em termos de ordem de grandeza e normalmente ocorrem por causa de:
    • diferenças na fonte dos valores de E^\circ (algumas tabelas usam valores arredondados ou experimentais ligeiramente diferentes);
    • arredondamentos intermediários nas contas;
    • ou pequena diferença na temperatura usada (usei 298{,}15\\ \mathrm{K}).
  • Conclusão prática: ambas as estimativas indicam uma constante de equilíbrio extremamente grande (ordem de 10^{31}), o que significa que a reação favorece fortemente os produtos (formação de \mathrm{Pb}^{2+} e \mathrm{Ag}) em condições padrão.

Resposta

K \approx 2{,}0\times10^{31}

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