Calcule a constante do produto de solubilidade \left(\mathrm{K}_{\mathrm{ps}}\right) do \mathrm{AgBr}_{(\mathrm{s})} dados:
\begin{array}{ll} \mathrm{AgBr}_{(\mathrm{s})}+\mathrm{e} \rightleftarrows \mathrm{Ag}_{(\mathrm{s})}+\mathrm{Br}_{(\mathrm{aq})}^{-} & \mathrm{E}^{\mathrm{o}}=+0,07 \mathrm{~V} \\\ \mathrm{Ag}_{(\mathrm{aq})}^{+}+\mathrm{e} \rightleftarrows \mathrm{Ag}_{(\mathrm{s})} & \mathrm{E}^{\mathrm{o}}=+0,80 \mathrm{~V} \end{array}
Resp: \quad 4 \times 10^{-13}

Passo 1

O enunciado dá duas semirreações com seus potenciais padrão e pede a constante do produto de solubilidade \mathrm{K}_{\mathrm{ps}} do \mathrm{AgBr}_{(s)}.
Informações fornecidas:
  • Semirreação 1: \mathrm{AgBr}_{(s)} + \mathrm{e} \rightleftarrows \mathrm{Ag}_{(s)} + \mathrm{Br}^{-}_{(aq)} com E^{\circ}_{1}=+0{,}07\\ \mathrm{V}.
  • Semirreação 2: \mathrm{Ag}^{+}_{(aq)} + \mathrm{e} \rightleftarrows \mathrm{Ag}_{(s)} com E^{\circ}_{2}=+0{,}80\\ \mathrm{V}.
O que é pedido:
  • Calcular \mathrm{K}_{\mathrm{ps}} para a reação de dissolução
\mathrm{AgBr}_{(s)} \rightleftarrows \mathrm{Ag}^{+}_{(aq)} + \mathrm{Br}^{-}_{(aq)}.

Passo 2

Estratégia (explicada didaticamente, sem pular etapas):
  • Cada potencial padrão E^{\circ} está relacionado à variação de energia livre padrão \Delta G^{\circ} pela fórmula
\Delta G^{\circ} = -n F E^{\circ},
onde:
  • n é o número de elétrons transferidos na semirreação (aqui n=1 em ambas),
  • F é a constante de Faraday ( F \approx 96485\\ \mathrm{C\\ mol^{-1}}),
  • E^{\circ} é o potencial padrão em volts.
  • A constante de equilíbrio K (aqui K_{\mathrm{ps}}) se relaciona com \Delta G^{\circ} por
\Delta G^{\circ} = -R T \ln K,
onde:
  • R é a constante dos gases ( R \approx 8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta (assumimos T=298\\ \mathrm{K} se não informado).
  • Vamos obter \Delta G^{\circ} da reação de dissolução \mathrm{AgBr}_{(s)} \to \mathrm{Ag}^{+} + \mathrm{Br}^{-} combinando as duas semirreações dadas (algebraicamente) e somando suas \Delta G^{\circ}. Em seguida usamos \Delta G^{\circ} = -RT\ln K_{\mathrm{ps}} para achar K_{\mathrm{ps}}.

Passo 3

Escrever as \Delta G^{\circ} das semirreações dadas usando \Delta G^{\circ}=-nFE^{\circ}.
Para a semirreação 1 ( n=1):
\Delta G^{\circ}_{1} = -F E^{\circ}_{1} = -F\cdot 0{,}07.
Para a semirreação 2 ( n=1):
\Delta G^{\circ}_{2} = -F E^{\circ}_{2} = -F\cdot 0{,}80.
Observação: todas as quantidades elétricas estão em joules por mol quando multiplicamos F (C/mol) por E (J/C = V).

Passo 4

Determinar \Delta G^{\circ} da reação desejada \mathrm{AgBr}_{(s)} \to \mathrm{Ag}^{+} + \mathrm{Br}^{-} combinando as semirreações.
Escrevendo as semirreações como dadas:
\begin{aligned} (1)\\ &\mathrm{AgBr}_{(s)} + \mathrm{e}^{-} \to \mathrm{Ag}_{(s)} + \mathrm{Br}^{-} &\quad &E^{\circ}_{1}=+0{,}07 \\\ (2)\\ &\mathrm{Ag}^{+} + \mathrm{e}^{-} \to \mathrm{Ag}_{(s)} &\quad &E^{\circ}_{2}=+0{,}80 \end{aligned}
Revertendo a semirreação (2) e somando com (1) obtém-se exatamente a dissolução:
\mathrm{AgBr}_{(s)} \to \mathrm{Ag}^{+} + \mathrm{Br}^{-}.
Ao combinar as \Delta G^{\circ} isso corresponde a
\Delta G^{\circ}_{\mathrm{diss}} = \Delta G^{\circ}_{1} - \Delta G^{\circ}_{2}.
Substituindo:
\Delta G^{\circ}_{\mathrm{diss}} = -F\cdot 0{,}07 - \big(-F\cdot 0{,}80\big) = F(0{,}80 - 0{,}07) = F\cdot 0{,}73.

Passo 5

Relacionar \Delta G^{\circ}_{\mathrm{diss}} com K_{\mathrm{ps}} pela fórmula \Delta G^{\circ} = -RT\ln K. Assim:
-F\cdot 0{,}73 = -R T \ln K_{\mathrm{ps}} \quad\text{(atenção ao sinal: \(\Delta G^{\circ}_{\mathrm{diss}} = +F\cdot0{,}73\))}.çã
Reescrevendo corretamente (usando \Delta G^{\circ}_{\mathrm{diss}} = F\cdot 0{,}73):
F\cdot 0{,}73 = -R T \ln K_{\mathrm{ps}}.
Logo:
\ln K_{\mathrm{ps}} = -\dfrac{F\cdot 0{,}73}{R T}.

Passo 6

Calcular numericamente K_{\mathrm{ps}}. Usando F=96485\\ \mathrm{C\\ mol^{-1}}, R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}} e T=298\\ \mathrm{K}:
Calcular o numerador:
F\cdot 0{,}73 = 96485 \times 0{,}73 \approx 70435\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Calcular o denominador:
R T = 8{,}314 \times 298 \approx 2477{,}6\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Relação:
\ln K_{\mathrm{ps}} = -\dfrac{70435}{2477{,}6} \approx -28{,}44.
Portanto
K_{\mathrm{ps}} = e^{-28{,}44} \approx 4{,}0\times 10^{-13}.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo: o resultado mostra que \mathrm{AgBr} é pouco solúvel (Kps muito pequeno). Mandou bem trazendo o exercício — essa técnica de usar potenciais para obter constantes de equilíbrio é poderosíssima e aparece bastante em provas; com calma e passo a passo dá para aplicar sempre.

Resposta

4\times10^{-13}

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