1. Calcule as constantes condicionais para a formação do complexo de \mathrm{Ba}^{2+} com EDTA em pH
9.0

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e quais informações vamos usar (sem resolver nada ainda).
  • Pedido: calcular as constantes condicionais para a formação do complexo de \mathrm{Ba}^{2+} com EDTA em pH 9{,}0.
    Interpreto “constantes condicionais” como a constante aparente (condicionada ao pH) da reação
    \mathrm{Ba}^{2+} + \mathrm{Y}^{4-} \rightleftharpoons \mathrm{BaY}^{2-},
    isto é, a constante global verdadeira \beta_1 corrigida pelo fato de que, àquele pH, nem todo o EDTA está na forma \mathrm{Y}^{4-}. A constante condicionada costuma denotar
    \beta' = \beta_1 \cdot \alpha_{\mathrm{Y}^{4-}},
    onde \alpha_{\mathrm{Y}^{4-}} é a fração do EDTA total que está na forma \mathrm{Y}^{4-} ao pH dado.
  • Informações que vou usar (valores de tabela que normalmente aparecem em livros/apoios):
    • constantes de acidez (pKa) sequenciais do EDTA usadas aqui: \text{p}K_{a1}=0{,}00,\quad \text{p}K_{a2}=1{,}50,\quad \text{p}K_{a3}=2{,}00,
\text{p}K_{a4}=2{,}66,\quad \text{p}K_{a5}=6{,}16,\quad \text{p}K_{a6}=10{,}26.
(Esses são valores padrão de tabelas para EDTA; se você tiver outros na sua apostila, o procedimento é o mesmo: basta substituir.)
  • constante global de formação (verdadeira) do complexo \mathrm{BaY}^{2-} (valor de tabela). Aqui vou usar um valor de referência típico:
    \log \beta_1(\mathrm{BaY}^{2-}) = 8{,}00,
    ou seja \beta_1 = 10^{8{,}00}. (Se você tiver outro valor na sua tabela, substitua-o no último passo.)
  • Meta concreta: calcular \alpha_{\mathrm{Y}^{4-}} ao pH 9{,}0 e então calcular \beta'=\beta_1\alpha_{\mathrm{Y}^{4-}}. Também apresento \log\beta' porque costuma ser mais prático.

Passo 2

Entendendo o conceito de fração de especiação \alpha para um ácido poliprótico — explicação didática.
  • EDTA pode perder até 6 prótons sequencialmente. Para um ácido com n etapas de dissociação, a fração da forma totalmente desprotonada A^{n-} é dada por
    \alpha_{A^{n-}}=\dfrac{K_1 K_2\cdots K_n}{[H^+]^{n}+K_1[H^+]^{n-1}+K_1K_2[H^+]^{n-2}+\cdots+K_1K_2\cdots K_n},
    onde K_i são as constantes de dissociação (não os pK). Essa fórmula vem de escrever as concentrações relativas das espécies em função de [H^+] e dos K_i e dividir pelo total do ácido. Não se assuste: é só uma soma das contribuições relativas de cada nível de protonação.
  • No caso do EDTA temos n=6. Denotando K_i=10^{-\text{p}K_{a_i}} e [H^+]=10^{-\text{pH}}, aplicamos a fórmula com n=6 para obter \alpha_{\mathrm{Y}^{4-}} (a forma totalmente deprotonada, carga -4).

Passo 3

Calcular numericamente os K_i a partir dos \text{p}K_{a} que listei.
  • Primeiro, [H^+] a pH 9{,}0 é
    [H^+] = 10^{-9}.
  • Converter cada \text{p}K_{a} em K_i:
    K_1=10^{-0{,}00}=1,
K_2=10^{-1{,}50}=0{,}0316227766,
K_3=10^{-2{,}00}=0{,}0100000000,
K_4=10^{-2{,}66}\approx0{,}00218776,
K_5=10^{-6{,}16}\approx6{,}9183\times10^{-7},
K_6=10^{-10{,}26}\approx5{,}507\times10^{-11}.

Passo 4

Calcular os produtos cumulativos \Pi_j=K_1K_2\cdots K_j que aparecem no denominador da fórmula de \alpha.
  • \Pi_0 (produto vazio) = 1.
  • \Pi_1=K_1=1.
  • \Pi_2=K_1K_2=0{,}0316227766.
  • \Pi_3=\Pi_2 K_3=3{,}16227766\times10^{-4}.
  • \Pi_4=\Pi_3 K_4\approx6{,}919\times10^{-7}.
  • \Pi_5=\Pi_4 K_5\approx4{,}787\times10^{-13}.
  • \Pi_6=\Pi_5 K_6\approx2{,}636\times10^{-23}.
(Mostrei aproximações com 3–4 algarismos significativos para manter as contas claras.)

Passo 5

Montar e calcular \alpha_{\mathrm{Y}^{4-}} usando a fórmula para n=6.
A fórmula é
\alpha_{\mathrm{Y}^{4-}}=\dfrac{\Pi_6}{[H^+]^{6}+\Pi_1[H^+]^{5}+\Pi_2[H^+]^{4}+\Pi_3[H^+]^{3}+\Pi_4[H^+]^{2}+\Pi_5[H^+]+\Pi_6}.
Substituindo números (com [H^+]=10^{-9}):
  • Termos com potências altas de [H^+] são extremamente pequenos:
    [H^+]^{6}=10^{-54},\quad [H^+]^{5}=10^{-45},\quad [H^+]^{4}=10^{-36},\;\ldots
    portanto os únicos termos que não são absolutamente desprezíveis são os dois últimos no denominador: \Pi_5[H^+] e \Pi_6.
  • Calcular esses dois termos:
    \Pi_5[H^+] \approx 4{,}787\times10^{-13}\times10^{-9}=4{,}787\times10^{-22},
\Pi_6 \approx 2{,}636\times10^{-23}.
Assim o denominador ≈ 4{,}787\times10^{-22}+2{,}636\times10^{-23}=5{,}0506\times10^{-22}.
O numerador é \Pi_6=2{,}636\times10^{-23}.
Logo
\alpha_{\mathrm{Y}^{4-}} \approx \dfrac{2{,}636\times10^{-23}}{5{,}0506\times10^{-22}}\approx0{,}0522.
Interpretação intuitiva (não pule!): isso significa que, a pH 9{,}0, só cerca de 5{,}2\% do EDTA total está na forma totalmente desprotonada \mathrm{Y}^{4-} que complexa diretamente o metal com a constante \beta_1. O restante está em formas protonadas que não formam o mesmo complexo.

Passo 6

Definir e calcular a constante condicionada \beta'.
  • Definição: a constante condicionada (ou aparente) para a reação escrita em termos da concentração total do ligante é
    \beta'=\beta_1\cdot \alpha_{\mathrm{Y}^{4-}},
    porque [\mathrm{Y}^{4-}] = \alpha_{\mathrm{Y}^{4-}}[\text{EDTA}]_{\text{total}}.
  • Usando o valor de referência escolhido para \beta_1:
    \log \beta_1 = 8{,}00 \quad\Rightarrow\quad \beta_1 = 10^{8{,}00}=1{,}00\times10^{8}.
  • Multiplicando:
    \beta' = 1{,}00\times10^{8}\times0{,}0522 \approx 5{,}22\times10^{6}.
  • Em logaritmo:
    \log \beta' = \log\beta_1 + \log\alpha_{\mathrm{Y}^{4-}} = 8{,}00 + \log(0{,}0522)\approx 8{,}00 -1{,}282 \approx 6{,}718\approx6{,}72.

Passo 7

Resumo final e interpretação prática (motivação para a prova).
  • Passo a passo prático que você deve lembrar na prova:
    1. Identifique a constante verdadeira de formação \beta_1 (da sua tabela).
    2. Calcule as K_i=10^{-\text{p}K_{a_i}} do EDTA e [H^+]=10^{-\text{pH}}.
    3. Use a fórmula geral para \alpha_{\mathrm{Y}^{4-}} (produto dos K_i sobre a soma adequada) — para EDTA n=6.
    4. Calcule \beta'=\beta_1\alpha_{\mathrm{Y}^{4-}} e, se quiser, \log\beta'=\log\beta_1+\log\alpha.
    5. Se a sua tabela tiver outro \log\beta_1, basta substituir no último cálculo; a \alpha ao pH 9{,}0 permanece a mesma (depende só do pH e dos pKa do EDTA).

Resposta

\alpha_{\mathrm{Y}^{4-}} \approx 0{,}0522
\beta' \approx 5{,}22\times10^{6}
\log\beta' \approx 6{,}72

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