Calcule o contorno do campo vetorial F(x, y, z)=y \vec{i}+x^{2} \vec{j}-z \vec{k} ao longo da curva C, x^{2}+y^{2}=4, e z=3, orientada no sentido positivo. Sol: -4 \pi

Passo 1

O enunciado pede a circulação do campo vetorial
F(x,y,z)=y\,\mathbf{i}+x^{2}\,\mathbf{j}-z\,\mathbf{k}
ao longo da curva C\colon x^{2}+y^{2}=4, z=3, orientada positivamente (sentido CCW visto de cima). O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial em curva fechada. Para resolver, vamos parametrizar C e calcular diretamente
\oint_{C}F\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Parametrizamos C por
\mathbf{r}(t)=(2\cos t,\,2\sin t,\,3),\quad t\in[0,2\pi],
então
d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt=(-2\sin t,\,2\cos t,\,0)\,dt.
Substituindo na expressão de F, obtemos
F(\mathbf{r}(t))=\bigl(2\sin t,\;4\cos^{2}t,\;-3\bigr).

Passo 3

O produto escalar é
F(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =(2\sin t)(-2\sin t)+(4\cos^{2}t)(2\cos t)+(-3)\cdot0 =-4\sin^{2}t+8\cos^{3}t.
Assim a integral de linha vira
\oint_{C}F\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-4\sin^{2}t+8\cos^{3}t\bigr)\,dt.

Passo 4

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt =\pi, \quad \int_{0}^{2\pi}\cos^{3}t\,dt=0
(porque \cos^{3}t tem média zero no período). Logo
\oint_{C}F\cdot d\mathbf{r} =-4\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt +8\int_{0}^{2\pi}\cos^{3}t\,dt =-4\pi+0=-4\pi.

Resposta

-4\pi

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