Calcule as expressöes:
-2 \operatorname{tg} \frac{5 \pi}{4}+\frac{1}{2} \operatorname{tg} \pi-\frac{1}{3} \operatorname{tg} \frac{5 \pi}{6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão envolvendo tangentes de ângulos notáveis: -2\,\tan\frac{5\pi}{4} \;+\;\frac12\,\tan\pi\;-\;\frac13\,\tan\frac{5\pi}{6}.
O conteúdo aqui é trigonometria de ângulos especiais, usando propriedades de periodicidade e simetria da tangente.

Passo 2

Calcular \tan\frac{5\pi}{4}. Como
\tan\bigl(\pi + x\bigr)=\tan x,
segue que
\tan\frac{5\pi}{4}=\tan\Bigl(\pi+\frac{\pi}{4}\Bigr)=\tan\frac{\pi}{4}=1.

Passo 3

Calcular \tan\pi. Sabemos que
\tan\pi=0.

Passo 4

Calcular \tan\frac{5\pi}{6}. Usando
\tan\bigl(\pi - x\bigr)=-\tan x,
temos
\tan\frac{5\pi}{6}=\tan\Bigl(\pi-\frac{\pi}{6}\Bigr)=-\tan\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão, obtemos
-2\cdot1+\frac12\cdot0-\frac13\cdot\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) =-2+0+\frac{1}{3\sqrt{3}} =-2+\frac{\sqrt{3}}{9}.

Resposta

-2+\frac{\sqrt{3}}{9}

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