3-Calcule a convolução contínua para obter
, onde:
.
0; c.c.
.
0; c.c.
0; c.c.
0; c.c.
Passo 1
O enunciado pede calcular a convolução contínua
As perguntas são: encontrar explicitamente
(ou seja, obter a expressão peça a peça da convolução).]
Passo 2
Definição e interpretação da convolução. A convolução contínua de duas funções
e
é definida por
Aqui
é a variável de integração (um “índice de tempo” fictício). A integral só contribui onde ambos
e
forem simultaneamente não nulos — fora disso o integrando é zero.
Passo 3
Determinar os suportes (intervalos onde cada função é não nula) e a interseção:
Para
ser não nulo precisamos de
, isto é
.
Portanto o integrando é não nulo apenas para
Portanto o integrando é não nulo apenas para
Se essa interseção for vazia, a convolução vale zero.
Passo 4
Escrever a integral com os limites obtidos. Seja
Então
Calculemos a integral de forma geral: uma antiderivada de
em relação a
é
. Assim, avaliando de
até
,
Passo 5
Caso
. Nesse caso o intervalo
está completamente à esquerda de
, logo a interseção com
é vazia. Portanto
Passo 6
Caso
. Aqui temos
e
. Substituindo na fórmula geral:
Portanto
Passo 7
Caso
. Agora
e
. Use a fórmula geral:
Calcule passo a passo:
Logo
Portanto
Passo 8
Caso
. Aqui o intervalo
está totalmente à direita de
, então a interseção com
é vazia. Portanto
Passo 9
Checagens rápidas (sanity checks): valores nos pontos de fronteira
As expressões são contínuas em
e os valores fazem sentido físico e matemático.