3-Calcule a convolução contínua para obter \mathrm{y}(\mathrm{t}), onde:
\mathrm{x}(\mathrm{t})=1 ; 0 \leq t \leq 1.
0; c.c.
\mathrm{h}(\mathrm{t})=\mathrm{t} ; 0 \leq t \leq 1.
0; c.c.
v(t)=h(t) * x(t)

Passo 1

O enunciado pede calcular a convolução contínua y(t)=h(t)*x(t)\) onde são dadas as duas funções: \[x(t)=\begin{cases} 1, & 0 \le t \le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}
h(t)=\begin{cases} t, & 0 \le t \le 1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á
As perguntas são: encontrar explicitamente y(t)\] para todo \(t (ou seja, obter a expressão peça a peça da convolução).]

Passo 2

Definição e interpretação da convolução. A convolução contínua de duas funções x(t) e h(t) é definida por
y(t)=(h*x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Aqui \tau é a variável de integração (um “índice de tempo” fictício). A integral só contribui onde ambos x(\tau) e h(t-\tau) forem simultaneamente não nulos — fora disso o integrando é zero.

Passo 3

Determinar os suportes (intervalos onde cada função é não nula) e a interseção:
\operatorname{supp} x = [0,1],\qquad \operatorname{supp} h = [0,1].
Para h(t-\tau) ser não nulo precisamos de 0 \le t-\tau \le 1, isto é \tau\in[t-1,t].
Portanto o integrando é não nulo apenas para
\tau\in [0,1]\cap [t-1,t]=\big[\max(0,t-1),\;\min(1,t)\big].
Se essa interseção for vazia, a convolução vale zero.

Passo 4

Escrever a integral com os limites obtidos. Seja
a=\max(0,t-1),\qquad b=\min(1,t).
Então
y(t)=\int_{a}^{b} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau=\int_{a}^{b} 1\cdot (t-\tau)\,d\tau=\int_{a}^{b}(t-\tau)\,d\tau.
Calculemos a integral de forma geral: uma antiderivada de (t-\tau) em relação a \tau é t\tau-\tfrac{1}{2}\tau^{2}. Assim, avaliando de a até b,
y(t)=\Big[t\tau-\tfrac{1}{2}\tau^{2}\Big]_{a}^{b}=t(b-a)-\tfrac{1}{2}\big(b^{2}-a^{2}\big).

Passo 5

Caso t<0. Nesse caso o intervalo [t-1,t] está completamente à esquerda de 0, logo a interseção com [0,1] é vazia. Portanto
y(t)=0\quad\text{para }t<0.

Passo 6

Caso 0\le t\le 1. Aqui temos a=\max(0,t-1)=0 e b=\min(1,t)=t. Substituindo na fórmula geral:
y(t)=t(b-a)-\tfrac{1}{2}(b^{2}-a^{2})=t\cdot t-\tfrac{1}{2}(t^{2}-0)=t^{2}-\tfrac{1}{2}t^{2}=\tfrac{1}{2}t^{2}.
Portanto
y(t)=\tfrac{1}{2}t^{2}\quad\text{para }0\le t\le 1.

Passo 7

Caso 1\le t\le 2. Agora a=\max(0,t-1)=t-1 e b=\min(1,t)=1. Use a fórmula geral:
y(t)=t(b-a)-\tfrac{1}{2}\big(b^{2}-a^{2}\big).
Calcule passo a passo:
b-a=1-(t-1)=2-t,
b^{2}-a^{2}=1-(t-1)^{2}=1-\big(t^{2}-2t+1\big)=2t-t^{2}.
Logo
y(t)=t(2-t)-\tfrac{1}{2}(2t-t^{2})=2t-t^{2}-t+\tfrac{1}{2}t^{2}=t-\tfrac{1}{2}t^{2}.
Portanto
y(t)=t-\tfrac{1}{2}t^{2}\quad\text{para }1\le t\le 2.

Passo 8

Caso t>2. Aqui o intervalo [t-1,t] está totalmente à direita de 1, então a interseção com [0,1] é vazia. Portanto
y(t)=0\quad\text{para }t>2.

Passo 9

Checagens rápidas (sanity checks): valores nos pontos de fronteira
t=0:\; y(0)=\tfrac{1}{2}\cdot 0^{2}=0,
t=1:\; y(1)=\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}=\tfrac{1}{2},
t=2:\; y(2)=2-\tfrac{1}{2}\cdot 4=0.
As expressões são contínuas em t=1 e os valores fazem sentido físico e matemático.

Resposta

y(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] \tfrac{1}{2}t^{2}, & 0\le t\le 1,\\[6pt] t-\tfrac{1}{2}t^{2}, & 1\le t\le 2,\\[6pt] 0, & t>2. \end{cases}]

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