No centro de uma casca grossa esférica condutora isolada de raio interno a e raio externo b há uma partícula puntual de carga 2 q, enquanto na casca condutora há uma carga q. A densidade superficial de carga na superfície interna da casca é:
(A) 0
(B) q /\left(2 \pi b^{2}\right)
(C) -q /\left(2 \pi a^{2}\right)
(D) -q /\left(4 \pi b^{2}\right)
(E) -q /\left(4 \pi a^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Há uma partícula pontual no centro da casca com carga \,2q.
  • A casca é condutora, isolada, com raio interno \,a e raio externo \,b.
  • A casca (isto é, o material condutor mais suas superfícies) possui carga total \,q.
  • Pergunta: qual é a densidade superficial de carga na superfície interna da casca?

Passo 2

Propriedade importante (explicada devagar): em equilíbrio eletrostático um condutor tem campo elétrico nulo em seu volume material. Isso significa que, para qualquer superfície gaussiana completamente dentro do material condutor (entre \,a e \,b), o fluxo do campo é zero e, pela Lei de Gauss, a carga líquida dentro dessa superfície deve ser zero.
A Lei de Gauss escrita é:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico, d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial da superfície fechada, Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da superfície, e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
Como estamos dentro do material condutor, temos \mathbf{E}=0 ali, logo o lado esquerdo é zero e assim:
Q_{\text{enc}}=0.

Passo 3

Agora identificamos quais cargas ficam dentro da superfície gaussiana colocada no interior do material condutor (ou seja, com raio r tal que a<r<b). Essas cargas são:
  • a carga pontual central \,2q;
  • a carga localizada na superfície interna da casca, que chamarei de \,Q_{\text{int}}.
Como não há outras cargas entre a e r, a condição Q_{\text{enc}}=0 dá:
2q + Q_{\text{int}} = 0.
Portanto
Q_{\text{int}} = -2q.
Interpretação: a superfície interna da casca ganha carga induzida -2q para anular o campo no material condutor.

Passo 4

Observação sobre distribuição: a carga pontual está exatamente no centro e a casca é esférica e simétrica, então todos os pontos da superfície interna são equivalentes — por simetria a carga induzida fica distribuída uniformemente nessa superfície interna. Isso significa que a densidade superficial \sigma_{\text{int}} é constante sobre a superfície interna.
Área da superfície interna (esfera de raio \,a) é
A_{\text{int}} = 4\pi a^2.
Logo a densidade superficial é carga dividida pela área:
\sigma_{\text{int}}=\frac{Q_{\text{int}}}{A_{\text{int}}}=\frac{-2q}{4\pi a^2}.

Passo 5

Simplificando a fração:
\frac{-2q}{4\pi a^2}=-\frac{q}{2\pi a^2}.
Portanto a densidade superficial na superfície interna é -\dfrac{q}{2\pi a^2}. Conferindo com as alternativas, isso corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C) -q /\left(2 \pi a^{2}\right)

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