No centro de uma casca grossa esférica condutora isolada de raio interno
e raio externo
há uma partícula puntual de carga
, enquanto na casca condutora há uma carga
. A densidade superficial de carga na superfície interna da casca é:
(A) 0
(B)
(C)
(D)
(E)
(A) 0
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há uma partícula pontual no centro da casca com carga
. - A casca é condutora, isolada, com raio interno
e raio externo . - A casca (isto é, o material condutor mais suas superfícies) possui carga total
. - Pergunta: qual é a densidade superficial de carga na superfície interna da casca?
Passo 2
Propriedade importante (explicada devagar): em equilíbrio eletrostático um condutor tem campo elétrico nulo em seu volume material. Isso significa que, para qualquer superfície gaussiana completamente dentro do material condutor (entre
e
), o fluxo do campo é zero e, pela Lei de Gauss, a carga líquida dentro dessa superfície deve ser zero.
A Lei de Gauss escrita é:
onde
é o campo elétrico,
é o elemento de área vetorial da superfície fechada,
é a carga total dentro da superfície, e
é a permissividade do vácuo.
Como estamos dentro do material condutor, temos
ali, logo o lado esquerdo é zero e assim:
Passo 3
Agora identificamos quais cargas ficam dentro da superfície gaussiana colocada no interior do material condutor (ou seja, com raio
tal que
). Essas cargas são:
- a carga pontual central
; - a carga localizada na superfície interna da casca, que chamarei de
.
Como não há outras cargas entre
e
, a condição
dá:
Portanto
Interpretação: a superfície interna da casca ganha carga induzida
para anular o campo no material condutor.
Passo 4
Observação sobre distribuição: a carga pontual está exatamente no centro e a casca é esférica e simétrica, então todos os pontos da superfície interna são equivalentes — por simetria a carga induzida fica distribuída uniformemente nessa superfície interna. Isso significa que a densidade superficial
é constante sobre a superfície interna.
Área da superfície interna (esfera de raio
) é
Logo a densidade superficial é carga dividida pela área:
Passo 5
Simplificando a fração:
Portanto a densidade superficial na superfície interna é
. Conferindo com as alternativas, isso corresponde à alternativa (C).
Resposta
(C)