2-Calcule a deconvolução discreta para encontrar \mathrm{h}[\mathrm{kT}] :
\mathrm{x}[\mathrm{kT}]=\{1,2\}
\mathrm{y}[\mathrm{kT}]=\{0,2,4\}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a deconvolução discreta para encontrar \mathrm{h}[\mathrm{kT}] a partir de duas sequências conhecidas. As informações dadas são:
\mathrm{x}[\mathrm{kT}]=\{1,2\} (ou seja \mathrm{x}[0]=1,\;\mathrm{x}[1]=2)\n
\mathrm{y}[\mathrm{kT}]=\{0,2,4\} (ou seja \mathrm{y}[0]=0,\;\mathrm{y}[1]=2,\;\mathrm{y}[2]=4)\n
Observação: como o enunciado não especifica índices, vou assumir a convenção padrão de sinais causais iniciando em k=0.

Passo 2

Lembrete importante (aula rápida sobre convolução discreta): a convolução discreta entre duas sequências \mathrm{x}[n] e \mathrm{h}[n] é dada por
\mathrm{y}[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\mathrm{x}[m]\,\mathrm{h}[n-m].
Aqui m é o índice de soma: para cada n somamos os produtos \mathrm{x}[m]\mathrm{h}[n-m] onde ambas as sequências tiverem valores definidos. Para sequências de comprimento finito, os limites da soma ficam restritos aos índices válidos de \mathrm{x} e \mathrm{h}.

Passo 3

Relação de comprimentos (fato útil para deconvolução): se \mathrm{x} tem comprimento L_x, \mathrm{h} tem comprimento L_h e \mathrm{y} tem comprimento L_y, então
L_y = L_x + L_h - 1.
Aqui L_x=2 (pois \{1,2\}), L_y=3 (pois \{0,2,4\}). Da relação obtemos
L_h = L_y - L_x + 1 = 3 - 2 + 1 = 2.
Portanto \mathrm{h} tem 2 amostras; escrevemos \mathrm{h}[0] e \mathrm{h}[1] como as incógnitas.

Passo 4

Agora escrevemos as equações da convolução para cada n onde \mathrm{y}[n] é conhecido.
Para n=0:
\mathrm{y}[0]=\mathrm{x}[0]\mathrm{h}[0].
Substituindo os valores dados: \mathrm{y}[0]=0 e \mathrm{x}[0]=1. Logo
0 = 1\cdot \mathrm{h}[0]\quad\Rightarrow\quad \mathrm{h}[0]=0.

Passo 5

Para n=1:
\mathrm{y}[1]=\mathrm{x}[0]\mathrm{h}[1]+\mathrm{x}[1]\mathrm{h}[0].
Substituindo \mathrm{y}[1]=2, \mathrm{x}[0]=1, \mathrm{x}[1]=2 e \mathrm{h}[0]=0:
2 = 1\cdot \mathrm{h}[1] + 2\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{h}[1]=2.

Passo 6

Verificação (consistência) para n=2:
\mathrm{y}[2]=\mathrm{x}[1]\mathrm{h}[1]
pois \mathrm{x}[2]=0 (fora do suporte) e \mathrm{h}[0] já conhecido. Substituindo \mathrm{x}[1]=2 e \mathrm{h}[1]=2:
\mathrm{y}[2] = 2\cdot 2 = 4,
que coincide com o valor dado \mathrm{y}[2]=4. Portanto as soluções encontradas são consistentes.

Passo 7

Interpretação final e dica prática: resolvemos um pequeno sistema linear obtido pela definição da convolução. Em geral, para deconvolução de sequências finitas, montamos as equações \mathrm{y}[n]=\sum \mathrm{x}[m]\mathrm{h}[n-m] para os n disponíveis e resolvemos para as incógnitas \mathrm{h}[k]. Aqui o sistema foi triangular simples, por isso foi direto resolver em ordem crescente de n.

Resposta

\mathrm{h}[\mathrm{kT}]=\{0,2\}

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