Calcule as coordenadas dos vetores
nas seguintes situações:
,
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede para calcular:
— a projeção de
sobre
,
e — a projeção de
sobre
.
As informações relevantes são as coordenadas de e
acima; nada mais é necessário.
e
As informações relevantes são as coordenadas de
Passo 2
Apresento a fórmula que vamos usar e explico cada parte com calma.
A projeção de sobre
(vetor projetado de
em direção a
) é dada por
A projeção de
Aqui:
-
é o produto escalar entre e . -
é o produto escalar de por si mesmo, que é (o quadrado da norma). - O quociente
é um escalar que indica quanto de aparece na componente de na direção de .
Vou aplicar essa fórmula duas vezes: com(para ) e com (para ).
Passo 3
Lembre como calcular o produto escalar entre dois vetores em
:
Agora calculo
usando as coordenadas dadas:
Isso já é um sinal importante: o produto escalar zero indica que os vetores são ortogonais (perpendiculares).
Passo 4
Calculo os denominadores necessários (as normas ao quadrado):
Passo 5
Agora aplico a fórmula para
.
Substituindo ,
:
Substituindo
Como já calculamos
e
, temos
Passo 6
Faço o mesmo para
.
Substituindo ,
:
Substituindo
Como
e
, obtemos
Passo 7
Interpretação geométrica e dica para a prova: quando o produto escalar entre dois vetores é zero, eles são perpendiculares. A projeção de um vetor sobre outro perpendicular é o vetor nulo, porque não há componente na direção do outro vetor. Na hora da prova, calcular primeiro o produto escalar pode economizar trabalho: se der zero, as duas projeções (cada qual dependendo desse produto escalar) serão nulas.