Calcule as coordenadas dos vetores operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) e \operatorname{pro}_{\vec{b}}(\vec{a}) nas seguintes situações:
\vec{a}=(6,2), \vec{b}=(3,-9),

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(6,2) e \vec{b}=(3,-9) e pede para calcular:
\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) — a projeção de \vec{b} sobre \vec{a},
e \operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) — a projeção de \vec{a} sobre \vec{b}.
As informações relevantes são as coordenadas de \vec{a} e \vec{b} acima; nada mais é necessário.

Passo 2

Apresento a fórmula que vamos usar e explico cada parte com calma.
A projeção de \vec{u} sobre \vec{v} (vetor projetado de \vec{u} em direção a \vec{v}) é dada por
\operatorname{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\,\vec{v}.
Aqui:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar entre \vec{u} e \vec{v}.
  • \vec{v}\cdot\vec{v} é o produto escalar de \vec{v} por si mesmo, que é \|\vec{v}\|^2 (o quadrado da norma).
  • O quociente \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}} é um escalar que indica quanto de \vec{v} aparece na componente de \vec{u} na direção de \vec{v}.
    Vou aplicar essa fórmula duas vezes: com \vec{u}=\vec{b},\,\vec{v}=\vec{a} (para \operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})) e com \vec{u}=\vec{a},\,\vec{v}=\vec{b} (para \operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})).

Passo 3

Lembre como calcular o produto escalar entre dois vetores em \mathbb{R}^2:
(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2.
Agora calculo \vec{a}\cdot\vec{b} usando as coordenadas dadas:
\vec{a}\cdot\vec{b} = (6,2)\cdot(3,-9)=6\cdot 3 + 2\cdot(-9)=18-18=0.
Isso já é um sinal importante: o produto escalar zero indica que os vetores são ortogonais (perpendiculares).

Passo 4

Calculo os denominadores necessários (as normas ao quadrado):
\vec{a}\cdot\vec{a} = (6,2)\cdot(6,2)=6^2+2^2=36+4=40,
\vec{b}\cdot\vec{b} = (3,-9)\cdot(3,-9)=3^2+(-9)^2=9+81=90.

Passo 5

Agora aplico a fórmula para \operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}).
Substituindo \vec{u}=\vec{b}, \vec{v}=\vec{a}:
\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) = \frac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\,\vec{a}.
Como já calculamos \vec{b}\cdot\vec{a}=\vec{a}\cdot\vec{b}=0 e \vec{a}\cdot\vec{a}=40, temos
\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) = \frac{0}{40}\,\vec{a} = 0\cdot\vec{a} = (0,0).

Passo 6

Faço o mesmo para \operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}).
Substituindo \vec{u}=\vec{a}, \vec{v}=\vec{b}:
\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\,\vec{b}.
Como \vec{a}\cdot\vec{b}=0 e \vec{b}\cdot\vec{b}=90, obtemos
\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \frac{0}{90}\,\vec{b} = 0\cdot\vec{b} = (0,0).

Passo 7

Interpretação geométrica e dica para a prova: quando o produto escalar entre dois vetores é zero, eles são perpendiculares. A projeção de um vetor sobre outro perpendicular é o vetor nulo, porque não há componente na direção do outro vetor. Na hora da prova, calcular primeiro o produto escalar pode economizar trabalho: se der zero, as duas projeções (cada qual dependendo desse produto escalar) serão nulas.

Resposta

\operatorname{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})=(0,0)
\operatorname{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})=(0,0)

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