Calcule as coordenadas do vetor \operatorname{pro}_{\vec{b}}(\vec{a}), onde \vec{a}=(-4,2) e \vec{b}= (-3,5).

Passo 1

O problema pede para calcular as coordenadas do vetor \operatorname{pro}_{\vec{b}}(\vec{a}), isto é, a projeção do vetor \vec{a} sobre o vetor \vec{b}.
As informações dadas são: \vec{a}=(-4,2) e \vec{b}=(-3,5).

Passo 2

A fórmula que usamos para a projeção de \vec{a} sobre \vec{b} é
\operatorname{pro}_{\vec{b}}(\vec{a})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{b}\|^{2}}\;\vec{b}.
Aqui:
  • \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar entre \vec{a} e \vec{b}; ele mede quanto \vec{a} “aponta” na direção de \vec{b}. Para vetores em \mathbb{R}^2, \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2), temos \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2.
  • \|\vec{b}\|^{2} é o quadrado da norma de \vec{b}; para \vec{b}=(b_1,b_2), \|\vec{b}\|^{2}=b_1^{2}+b_2^{2}.
  • O quociente \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{b}\|^{2}} é um escalar que diz quanto de \vec{b} devemos tomar para obter a projeção.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b}:
\vec{a}\cdot\vec{b}=(-4)\cdot(-3)+2\cdot5=12+10=22.

Passo 4

Calcular \|\vec{b}\|^{2}:
\|\vec{b}\|^{2}=(-3)^{2}+5^{2}=9+25=34.

Passo 5

Calcular o escalar que multiplica \vec{b}:
\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{b}\|^{2}}=\frac{22}{34}=\frac{11}{17}.
Expliquei a simplificação dividindo numerador e denominador por 2.

Passo 6

Multiplicar esse escalar por \vec{b} componente a componente:
\operatorname{pro}_{\vec{b}}(\vec{a})=\frac{11}{17}\,(-3,5)=\left(\frac{11}{17}\cdot(-3),\frac{11}{17}\cdot5\right)=\left(-\frac{33}{17},\frac{55}{17}\right).

Passo 7

Checagem rápida (opcional): o vetor obtido é paralelo a \vec{b} porque é um múltiplo escalar de \vec{b}; o escalar encontrado foi \dfrac{11}{17}, então tudo faz sentido. Bons estudos — você já tem a técnica para reproduzir isso na prova!

Resposta

\displaystyle \left(-\frac{33}{17},\frac{55}{17}\right)

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