Sejam B(4,8) e C(9,-4). Determine o ponto A=A(x, y), sabendo que x>0, A B C é isósceles em A e a área de A B C é 169 .

Passo 1

O enunciado dá os pontos B(4,8) e C(9,-4). Pede-se o ponto A=(x,y) tal que:
  1. x>0.
  2. o triângulo ABC é isósceles em A (isto é, AB=AC).
  3. a área de ABC é 169.
    Informações relevantes listadas: B=(4,8), C=(9,-4), AB=AC, \text{Área}(ABC)=169Á. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Loco geométrico: os pontos equidistantes de B e C formam a mediatriz de BC. Logo, como AB=AC, o ponto A pertence à mediatriz perpendicular de BC. Vou calcular a mediatriz.
Calculo do ponto médio M de BC:
M=\left(\frac{4+9}{2},\frac{8+(-4)}{2}\right)=\left(\frac{13}{2},2\right).
Vetor \overrightarrow{BC}:
\overrightarrow{BC}=(9-4,\,-4-8)=(5,-12).
Observe que (5,-12) tem comprimento \sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.

Passo 3

Direção da mediatriz: um vetor perpendicular a \overrightarrow{BC}=(5,-12) é, por exemplo, (12,5) porque
(5,-12)\cdot(12,5)=5\cdot12+(-12)\cdot5=60-60=0.
O comprimento de (12,5) é \sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.
Como A está na mediatriz que passa por M e tem direção (12,5), podemos parametrizar A por um parâmetro real t:
A(t)=M+t(12,5)=\left(\frac{13}{2}+12t,\;2+5t\right).

Passo 4

Uso a fórmula da área do triângulo com base BC e altura h relativa a BC:
\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot |BC|\cdot h.Á
Sabemos |BC|=13 e a área pedida é 169. Substituindo:
169=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot h \implies h=\frac{169\cdot 2}{13}=\frac{338}{13}=26.
Portanto a distância de A até a reta BC deve ser h=26.

Passo 5

Como M pertence à reta BC, a distância de A até BC é simplesmente a norma do vetor A-M. Pela parametrização A-M=t(12,5) e \|(12,5)\|=13, temos
\text{dist}(A,BC)=\|A-M\|=|t|\cdot 13.
Igualando à altura obtida:
13|t|=26 \implies |t|=2 \implies t=2 \text{ ou } t=-2.

Passo 6

Calculo das duas possíveis coordenadas de A:
Para t=2:
A_1=\left(\frac{13}{2}+12\cdot 2,\;2+5\cdot 2\right)=\left(\frac{13}{2}+24,\;12\right)=\left(\frac{13+48}{2},12\right)=\left(\frac{61}{2},12\right).
Para t=-2:
A_2=\left(\frac{13}{2}+12\cdot(-2),\;2+5\cdot(-2)\right)=\left(\frac{13}{2}-24,\;-8\right)=\left(\frac{13-48}{2},-8\right)=\left(-\frac{35}{2},-8\right).
Ambas satisfazem AB=AC e têm área 169, mas o enunciado exige x>0. Assim descartamos A_2 porque -\tfrac{35}{2}<0, e ficamos com A_1.

Resposta

\displaystyle A=\left(\frac{61}{2},12\right)

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