Calcule a corrente em um fio de raio R=3 mm se o módulo da densidade de corrente é dado por (a) J=J0(1-r / R), onde J0=5,5 times 10^4 A / m^2. (b) J=J0 / R e (c) Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície é maior?

Passo 1

O problema pede para calcular a corrente total I em um fio cilíndrico de raio R=3 mm=3times10^-3,m quando a densidade de corrente J(r) varia radialmente. O conteúdo usado é a relação
I=integral duplasecçãoJ,dA çã
em coordenadas cilíndricas, onde dA=2pi r,dr.

Passo 2

Para o caso (a),
J(r)=J0l(1-rRr),
com J0=5,5times10^4,A/m^2. Então
Ia =2piintegral0^RJ0l(1-rRr),r,dr
Fatorando J0:
Ia =2pi J0integral0^Rl(r-r^2Rr)dr =2pi J0l[r^22-r^33Rr]0^R =2pi J0l(R^22-R^23r) =pi J0R^23
Substituindo valores:
Ia =pi,(5,5times10^4),(3times10^-3)^23 approx0,52 A

Passo 3

Para o caso (b), assumimos a forma típica
J(r)=J0,rR
Então
Ib =2piintegral0^RJ0rR,r,dr =2piJ0Rintegral0^Rr^2dr =2piJ0RcdotR^33 =2pi J0R^23
Numericamente,
Ib =2pi,(5,5times10^4),(3times10^-3)^23 approx1,04 A

Passo 4

Para comparar a densidade de corrente perto da superfície ( rto R):
  • No caso (a): Ja(R)=J0(1-1)=0.
  • No caso (b): Jb(R)=J0.
Logo, perto da superfície a densidade de corrente é maior na função do item (b).

Resposta

(a) Ia=pi J0R^23approx0,52 A
(b) Ib=2pi J0R^23approx1,04 A
(c) A densidade de corrente perto da superfície é maior para a função do item (b).

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