- Calcule a corrente de probabilidade,
, para a autofunção de energia da partícula livre
. Para qual direção a probabilidade flui
e
?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a corrente de probabilidade
para a autofunção de energia
e dizer em que direção a probabilidade flui nos casos
e
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função de onda é
. - Os parâmetros são
(número de onda), (massa da partícula) e (constante de Planck reduzida). - A função dada é uma onda plana (plane wave) com fase linear em
e .
Passo 2
Definimos a densidade de probabilidade
como
Aqui
é o complexo conjugado de
. A densidade
representa a probabilidade por unidade de comprimento de encontrar a partícula em
no tempo
.
Passo 3
Calculemos
para a função dada. Como
é uma exponencial imaginária, o produto com o conjugado dá
Logo
Observação: matematicamente essa onda plana não é normalizável em todo o eixo real, mas localmente tem densidade constante igual a
(ou de modo mais formal,
é constante).
Passo 4
Apresentamos a expressão padrão para a corrente de probabilidade unidimensional
:
Explicação didática: essa expressão aparece ao derivar a equação de continuidade
a partir da equação de Schrödinger. Em palavras:
descreve “quanto” de probabilidade existe, e
descreve “como” essa probabilidade flui no espaço. Na fórmula,
é a derivada espacial da função de onda; o fator
garante as unidades corretas e surge da combinação da equação de Schrödinger com seu conjugado.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas espaciais necessárias. Para a nossa
temos
e, tomando conjugado,
Essas igualdades vêm do fato de que a derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Calculemos agora o combinado que aparece em
:
Passo 7
Substituindo esse resultado na fórmula de
obtemos
Como calculado no Passo 3,
, portanto
Interpretação física simples:
é exatamente a velocidade média (grupo/partícula)
associada à onda, então
. Aqui
e
.
Passo 8
Direção do fluxo: o sinal de
indica a direção do fluxo de probabilidade.
- Se
, então , ou seja, a probabilidade flui no sentido positivo do eixo (para ). - Se
, então , ou seja, a probabilidade flui no sentido negativo do eixo (para ).
(Observação: paratemos , sem fluxo.)