1. Calcule a corrente de probabilidade, J, para a autofunção de energia da partícula livre \Psi_{k}(x, t)= e^{i\left(k x-\hbar k^{2} t / 2 m\right)}. Para qual direção a probabilidade flui (k>0 e k<0) ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a corrente de probabilidade J para a autofunção de energia
\Psi_{k}(x,t)=e^{i\left(kx-\frac{\hbar k^{2} t}{2m}\right)}
e dizer em que direção a probabilidade flui nos casos k>0 e k<0.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função de onda é \Psi_{k}(x,t)=e^{i\left(kx-\frac{\hbar k^{2} t}{2m}\right)}.
  • Os parâmetros são k (número de onda), m (massa da partícula) e \hbar (constante de Planck reduzida).
  • A função dada é uma onda plana (plane wave) com fase linear em x e t.

Passo 2

Definimos a densidade de probabilidade \rho como
\rho(x,t)=\lvert\Psi(x,t)\rvert^{2}=\Psi^{*}\Psi.
Aqui \Psi^{*} é o complexo conjugado de \Psi. A densidade \rho representa a probabilidade por unidade de comprimento de encontrar a partícula em x no tempo t.

Passo 3

Calculemos \rho para a função dada. Como \Psi_{k} é uma exponencial imaginária, o produto com o conjugado dá
\Psi_{k}^{*}\Psi_{k}=e^{-i\left(kx-\frac{\hbar k^{2} t}{2m}\right)}e^{i\left(kx-\frac{\hbar k^{2} t}{2m}\right)}=1.
Logo
\rho(x,t)=\lvert\Psi_{k}(x,t)\rvert^{2}=1.
Observação: matematicamente essa onda plana não é normalizável em todo o eixo real, mas localmente tem densidade constante igual a 1 (ou de modo mais formal, \rho é constante).

Passo 4

Apresentamos a expressão padrão para a corrente de probabilidade unidimensional J(x,t):
J(x,t)=\frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right).
Explicação didática: essa expressão aparece ao derivar a equação de continuidade \partial\rho/\partial t + \partial J/\partial x = 0 a partir da equação de Schrödinger. Em palavras: \rho descreve “quanto” de probabilidade existe, e J descreve “como” essa probabilidade flui no espaço. Na fórmula, \partial\Psi/\partial x é a derivada espacial da função de onda; o fator \hbar/(2mi) garante as unidades corretas e surge da combinação da equação de Schrödinger com seu conjugado.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas espaciais necessárias. Para a nossa \Psi_{k} temos
\frac{\partial \Psi_{k}}{\partial x}=i k\,\Psi_{k}
e, tomando conjugado,
\frac{\partial \Psi_{k}^{*}}{\partial x}=-i k\,\Psi_{k}^{*}.
Essas igualdades vêm do fato de que a derivada de e^{i k x} em relação a x é i k e^{i k x}.

Passo 6

Calculemos agora o combinado que aparece em J:
\Psi_{k}^{*}\frac{\partial \Psi_{k}}{\partial x}-\Psi_{k}\frac{\partial \Psi_{k}^{*}}{\partial x} = \Psi_{k}^{*}(i k \Psi_{k}) - \Psi_{k}(-i k \Psi_{k}^{*}) = i k \lvert\Psi_{k}\rvert^{2} + i k \lvert\Psi_{k}\rvert^{2} =2 i k \lvert\Psi_{k}\rvert^{2}.

Passo 7

Substituindo esse resultado na fórmula de J obtemos
J=\frac{\hbar}{2mi}\left(2 i k \lvert\Psi_{k}\rvert^{2}\right) =\frac{\hbar k}{m}\lvert\Psi_{k}\rvert^{2}.
Como calculado no Passo 3, \lvert\Psi_{k}\rvert^{2}=1, portanto
J=\frac{\hbar k}{m}.
Interpretação física simples: \dfrac{\hbar k}{m} é exatamente a velocidade média (grupo/partícula) v associada à onda, então J=v\,\rho. Aqui v=\dfrac{\hbar k}{m} e \rho=1.

Passo 8

Direção do fluxo: o sinal de J indica a direção do fluxo de probabilidade.
  • Se k>0, então J=\dfrac{\hbar k}{m}>0, ou seja, a probabilidade flui no sentido positivo do eixo x (para +x).
  • Se k<0, então J=\dfrac{\hbar k}{m}<0, ou seja, a probabilidade flui no sentido negativo do eixo x (para -x).
    (Observação: para k=0 temos J=0, sem fluxo.)

Resposta

J=\dfrac{\hbar k}{m}.\nPara k>0: fluxo para +x. Para k<0: fluxo para -x.

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