(a) Calcule
.
(b) Monte
e
.
(c) Calcule
e
. Calcule
e
e verifique o teorema de Ehrenfest para o estado
e os operadores
e
:
O teorema de Ehrenfest estabelece que os valores esperados dos observáveis quânticos acima se relacionam como as variáveis dinâmicas clássicas correspondentes.
(b) Monte
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função de onda inicial
e pede:
(a) determinar ;
(b) montar e
;
(c) calcular e
, em seguida
e
, e verificar o teorema de Ehrenfest
(a) determinar
(b) montar
(c) calcular
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
onde
e
são autovetores ortonormais (estados estacionários) do hamiltoniano. O enunciado usa indices
e
(estado fundamental e primeiro excitado), portanto vamos usar as propriedades padrão desses autovetores (ortonormalidade
) e, para calcular elementos de matriz de
e
, vamos assumir o caso usual do oscilador harmônico unidimensional, em cujo contexto os autovetores podem ser tomados reais e
Passo 2
Normalização e cálculo de
.
Teoria usada (rápida aulas):
- A função de onda total deve ser normalizada:
. - Com estados ortonormais,
, então cruzamentos entre e desaparecem ao calcular norma.
Cálculo:
Impondo normalização
obtemos
Podemos escolher
real e positivo (fase global irrelevante), então
Passo 3
Evolução temporal
.
Teoria usada:
- Estados próprios de energia evoluem com fator de fase temporal
. - Se
é autofunção com energia , então a contribuição de em é .
Aplicando ao nosso caso (para o oscilador harmônico
):
É útil trabalhar com a diferença de fases
. Podemos factorar
se quisermos:
A fase global
não altera probabilidades, mas deixo-a explicitada.
Passo 4
Cálculo de
.
Teoria usada:
-
. Produtos entre termos com fases diferentes geram termos de interferência dependentes do tempo.
Cálculo direto (usando
):
Se escolhemos
e
reais (padrão para os autovetores do oscilador harmônico),
real, então o termo de interferência fica
Logo, escrevendo completo:
Comentário didático: esse termo misto oscilante é a “batida” temporal que aparece quando misturamos dois níveis com energia diferente; ele é responsável por expectativas de posição e momento oscilantes no tempo.
Passo 5
Cálculo de
.
Teoria usada:
- Definição:
- Expandindo em base
:
onde
são coeficientes temporais (
,
).
Diagonalmente, para estados de paridade bem definida do oscilador harmônico,
e
(funções pares multiplicadas por
dão integrando ímpar). Assim somente o termo cruzado contribui:
Agora precisamos de
. Usando operadores escalonantes do oscilador harmônico:
- Definição útil:
- Ação sobre autovalores:
, . - Assim
Mas
e
. Portanto
Este é um número real positivo; chamo‑o de
:
Agora calcule
:
Portanto
Substituindo
:
Comentário:
oscila harmonicamente com frequência
, amplitude determinada pelos coeficientes da mistura.
Passo 6
Cálculo de
.
Teoria usada:
- Definição:
. - Para o oscilador harmônico:
- Calculemos
:
Como antes
e
, obtemos
Denoto
.
Agora, como em
,
Substituindo
e
temos:
Calcule o real:
Logo
Portanto
Comentário:
é a derivada temporal (proporcional) de
, como veremos.
Passo 7
Cálculo de
e de
; verificação do teorema de Ehrenfest.
Primeiro derive
no tempo:
Ou seja
Agora calcule
. Para o oscilador harmônico clássico/quântico típico
Então
Substituindo
do passo 5:
Simplificando:
portanto
Isto coincide exatamente com
obtido acima, logo
o que verifica o teorema de Ehrenfest para este estado e os operadores
e
.
Comentário final (motivacional): deu trabalho, mas a conta mostra que as médias quânticas seguem as equações clássicas para a média — bem legal, né? Isso é o coração do teorema de Ehrenfest.
Resposta
Portanto