Uma partícula está no estado fundamental do oscilador harmônico com frequência clássica \omega, quando repentinamente a constante da mola quadruplica, fazendo com que \omega^{\prime}=2 \omega, sem inicialmente mudar a função de onda (embora \psi passe a evoluir de forma diferente, uma vez que o Hamiltoniano mudou). Qual é a probabilidade de a medição de energia ainda resultar no valor \hbar \omega / 2 ? Qual é a probabilidade de se obter \hbar \omega ? [Respostas: 0 e 0,943 .]
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
Informação: A partícula está inicialmente no estado fundamental de um oscilador harmônico com frequência \omega.
Informação: Em t=0 a constante da mola é mudada instantaneamente (quádrupla), de modo que a nova frequência é \omega' = 2\omega. A função de onda imediatamente após a mudança é a mesma que antes da mudança (isto é, \psi(x,0) não muda instantaneamente).
Pergunta 1: Qual é a probabilidade de uma medição de energia (com o novo Hamiltoniano) resultar no valor \hbar \omega / 2?
Pergunta 2: Qual é a probabilidade de se obter \hbar \omega?
Esses são todos os dados do problema. No próximo passo eu explico as ideias que vamos usar e começo a resolver.
Passo 2
Ideia física e matemática que usamos (explicada passo a passo, sem pular etapas):
Quando o Hamiltoniano muda instantaneamente, a função de onda no instante logo após a mudança é a mesma que no instante imediatamente anterior; isso é a hipótese do “sudden change” (mudança súbita). Como as autofunções do novo Hamiltoniano formam uma base ortonormal, a probabilidade de medir um valor de energia igual a um autovalor E_n' do novo Hamiltoniano é o quadrado do módulo do coeficiente de expansão do estado inicial nessa base, isto é
onde \{\phi_n'\} são os autovetores (autofunções) do novo Hamiltoniano e \psi_{\text{inicial}} é a função de onda imediatamente antes/na mudança.
Portanto, para responder às perguntas teremos que:
Verificar se \hbar\omega/2 e \hbar\omega são autovalores do novo Hamiltoniano. Se não forem, a probabilidade é zero.
Caso sejam autovalores, calcular o coeficiente de projeção entre a função de onda inicial (estado fundamental do oscilador de frequência \omega) e o autovetor correspondente do novo Hamiltoniano (por exemplo, o estado fundamental do oscilador com frequência \omega').
Vou aplicar isso agora.
Passo 3
Determinar os autovalores do novo Hamiltoniano e checar \hbar\omega/2:
Os autovalores do oscilador harmônico com frequência \omega' são
Portanto \hbar\omega é o autovalor fundamental do novo Hamiltoniano (isto é, o novo estado fundamental tem energia \hbar\omega). A probabilidade pedida na pergunta 2 é
onde \psi_0(x) é o estado fundamental do oscilador com frequência \omega (estado inicial) e \phi_0'(x) é o estado fundamental do oscilador com frequência \omega'=2\omega.
Passo 5
Escrever explicitamente as formas das funções de onda fundamentais (normalizadas) e montar a integral de sobreposição:
Aqui m é a massa, \hbar a constante reduzida; o fator \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} normaliza a função (ou seja, garante \int_{-\infty}^{\infty}|\psi_0(x)|^2dx=1).
I \equiv \langle \phi_0' \mid \psi_0\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \phi_0'^*(x)\,\psi_0(x)\,dx.
Substituindo as expressões:
I = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\left(\frac{m\omega'}{\pi\hbar}\right)^{1/4} \int_{-\infty}^{\infty}\exp\!\left[-\frac{m(\omega+\omega')x^2}{2\hbar}\right]dx.
Passo 6
Calcular a integral gaussiana e simplificar passo a passo:
Resumo final e interpretação curta (estímulo): a primeira probabilidade é zero porque \hbar\omega/2 não é um autovalor do novo Hamiltoniano; a segunda é grande (\approx 0{,}943) porque os dois estados fundamentais são ambos gaussianos concentrados em x=0 e com larguras próximas, então têm alta sobreposição. Vai dar tudo certo na prova — este tipo de cálculo é só projeção de gausssianas e manejo de integrais gaussianas!