Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da posição falsa:
a) 
  onde 
  e 
 
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para refinar a raiz da função 
  no intervalo 
  usando o método da posição falsa. A matéria que estamos trabalhando aqui é a Análise Numérica, especificamente métodos para encontrar raízes de funções. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o método da posição falsa e aplicar suas etapas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método da posição falsa. Esse método é similar ao método da bisseção, mas em vez de dividir o intervalo ao meio, ele usa uma linha reta (uma secante) para aproximar a raiz. A ideia é achar uma melhor aproximação para a raiz dentro do intervalo dado.
Passo 3
Vamos começar avaliando a função nos extremos do intervalo 
 :
Como 
  e 
  têm sinais opostos, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo devido ao Teorema de Bolzano.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do método da posição falsa para encontrar uma nova aproximação da raiz. A fórmula é:
Onde:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos verificar se 
  é uma boa aproximação ou se precisamos refinar mais. Calculamos 
 :
Como 
  é negativo e 
  é positivo, sabemos que a raiz está entre 
  e 
 .
Passo 6
Vamos aplicar novamente a fórmula com o novo intervalo 
 :
Passo 7
Calculamos 
  novamente:
Ainda é negativo, então a raiz está entre 
  e 
 .
Passo 8
Aplicamos mais uma vez a fórmula:
Passo 9
Verificamos 
 :
A diferença está abaixo da tolerância 
 , então podemos parar por aqui.
Resposta
A aproximação da raiz utilizando o método da posição falsa é 
 .