Calcule
\cos \frac{12 \pi}{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \cos\frac{12\pi}{5}. Vamos usar a periodicidade do cosseno e a fórmula do ângulo duplo, além do valor exato de \cos\frac{\pi}{5}.

Passo 2

Pela periodicidade \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta, temos
\cos\frac{12\pi}{5} = \cos\Bigl(\frac{12\pi}{5}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{2\pi}{5}.

Passo 3

A fórmula do ângulo duplo é
\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1.
Tomando \alpha=\frac{\pi}{5}, obtemos
\cos\frac{2\pi}{5} =2\cos^2\frac{\pi}{5}-1.

Passo 4

É sabido que
\cos\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}.
Logo
\cos^2\frac{\pi}{5} =\Bigl(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\Bigr)^2 =\frac{3+\sqrt{5}}{8},
e então
2\cdot\frac{3+\sqrt{5}}{8}-1 =\frac{\sqrt{5}-1}{4}.

Resposta

\cos\frac{12\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.

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