Calcule a curvatura \kappa(x) das seguintes curvas planas:
y=4 x^{5 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura \kappa(x) da curva plana dada por y=4x^{5/2}. Informações relevantes que temos:
  • A função é y(x)=4x^{5/2}.
  • A função está definida para x\ge0 (potência fracionária com expoente 5/2 exige x\ge0 para valores reais).
  • A saída desejada é a expressão de \kappa(x) em função de x.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as derivadas necessárias. Vou lembrar a regra que usamos: a regra do poder (power rule) diz que, para todo n\in\mathbb{R},
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aplicando isso a y(x)=4x^{5/2}, extraímos a constante 4 e derivamos x^{5/2}:
y'(x)=4\cdot\frac{5}{2}x^{5/2-1}=4\cdot\frac{5}{2}x^{3/2}.
Fazendo a multiplicação dos números:
4\cdot\frac{5}{2}=\frac{20}{2}=10,
portanto
y'(x)=10x^{3/2}.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada y''(x) aplicando a mesma regra à função y'(x)=10x^{3/2}:
y''(x)=10\cdot\frac{3}{2}x^{3/2-1}=10\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}.
Multiplicando os coeficientes:
10\cdot\frac{3}{2}=\frac{30}{2}=15,
logo
y''(x)=15x^{1/2}.

Passo 4

Agora a fórmula que usamos para curvatura de uma curva dada por y=f(x) (ou seja, parametrizada por x como parâmetro) é obtida a partir da fórmula paramétrica
\kappa=\frac{|x' y''-y' x''|}{\bigl((x')^{2}+(y')^{2}\bigr)^{3/2}}.
Tomando a parametrização x=t, y=f(t) (ou seja, identificar t=x), tem-se x'=1 e x''=0. Substituindo nisso vem a fórmula mais usada para gráficos:
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}}.
Explicando as variáveis:
  • y'(x)=\dfrac{dy}{dx} é a derivada primeira (inclinação da tangente).
  • y''(x)=\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} é a derivada segunda (variação da inclinação).
  • O valor absoluto garante que \kappa\ge0 (curvatura é não-negativa).

Passo 5

Agora substituímos as derivadas que já calculamos na fórmula. Primeiro calculemos (y'(x))^{2}:
(y'(x))^{2}=(10x^{3/2})^{2}=100x^{3}.
Então
1+(y'(x))^{2}=1+100x^{3}.
E o numerador é |y''(x)|=|15x^{1/2}|. Como estamos no domínio x\ge0, tem-se x^{1/2}\ge0 e portanto |15x^{1/2}|=15x^{1/2}. Substituindo na fórmula da curvatura:
\kappa(x)=\frac{15x^{1/2}}{\bigl(1+100x^{3}\bigr)^{3/2}}.
Alternativamente, usando raiz quadrada em vez de potência fracionária:
\kappa(x)=\frac{15\sqrt{x}}{\bigl(1+100x^{3}\bigr)^{3/2}},\qquad x\ge0.

Passo 6

Pequenas observações úteis para a prova (rápidas e práticas):
  • Em x=0 tem-se \kappa(0)=0 (o numerador é zero e o denominador é 1).
  • A curvatura é sempre não-negativa, como esperado.
  • Para verificações rápidas em outras funções, o procedimento é sempre: calcular y', y'' e aplicar \kappa=\dfrac{|y''|}{(1+(y')^{2})^{3/2}}. Exemplo rápido de comparação: para y=x^{2} obtém-se \kappa(x)=\dfrac{2}{(1+4x^{2})^{3/2}}.

Resposta

\displaystyle \kappa(x)=\frac{15x^{1/2}}{\bigl(1+100x^{3}\bigr)^{3/2}},\qquad x\ge0

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