Calcule a curvatura
das seguintes curvas planas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a curvatura
da curva plana dada por
. Informações relevantes que temos:
- A função é
. - A função está definida para
(potência fracionária com expoente exige para valores reais). - A saída desejada é a expressão de
em função de .
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular as derivadas necessárias. Vou lembrar a regra que usamos: a regra do poder (power rule) diz que, para todo
,
Aplicando isso a
, extraímos a constante
e derivamos
:
Fazendo a multiplicação dos números:
portanto
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
aplicando a mesma regra à função
:
Multiplicando os coeficientes:
logo
Passo 4
Agora a fórmula que usamos para curvatura de uma curva dada por
(ou seja, parametrizada por
como parâmetro) é obtida a partir da fórmula paramétrica
Tomando a parametrização
,
(ou seja, identificar
), tem-se
e
. Substituindo nisso vem a fórmula mais usada para gráficos:
Explicando as variáveis:
-
é a derivada primeira (inclinação da tangente). -
é a derivada segunda (variação da inclinação). - O valor absoluto garante que
(curvatura é não-negativa).
Passo 5
Agora substituímos as derivadas que já calculamos na fórmula. Primeiro calculemos
:
Então
E o numerador é
. Como estamos no domínio
, tem-se
e portanto
. Substituindo na fórmula da curvatura:
Alternativamente, usando raiz quadrada em vez de potência fracionária:
Passo 6
Pequenas observações úteis para a prova (rápidas e práticas):
- Em
tem-se (o numerador é zero e o denominador é ). - A curvatura é sempre não-negativa, como esperado.
- Para verificações rápidas em outras funções, o procedimento é sempre: calcular
, e aplicar . Exemplo rápido de comparação: para obtém-se .