Calcule a curvatura
das seguintes curvas planas:
Passo 1
O enunciado dá a curva plana definida por
e pede para calcular a curvatura
dessa curva.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A pergunta é: obter
, a curvatura em função de .
Passo 2
O que é a curvatura e qual fórmula usar (explicação passo a passo, como se fosse na prova).
- Intuição rápida: a curvatura mede “o quanto a curva está virando” num ponto. Uma linha reta tem curvatura zero; uma circunferência de raio
tem curvatura constante igual a . - Fórmula prática para uma curva dada como
: parametrize pela própria variável (isto é, usar ). Para uma parametrização genérica a curvatura é
- No caso em que paramos por
(ou seja, e ), temos e . Substituindo na fórmula obtemos a forma frequentemente usada em provas:
- Explicando as peças:
é a derivada primeira (a inclinação da reta tangente) e é a derivada segunda (a concavidade). O valor absoluto em cima garante que .
Passo 3
Calcular as derivadas primeira e segunda de
. Usando regra do poder:
- Derivada primeira:
Explanação: derivada de
é
; derivada de
é
.
- Derivada segunda:
Explanação: derivada de constante
é
; derivada de
é
. Note que
é constante aqui, o que significa concavidade constante para a parábola.
Passo 4
Substituir
e
na fórmula da curvatura e simplificar passo a passo.
- Primeiro substitui-se:
- Resolve o valor absoluto no numerador:
então
- Podemos simplificar o quadrado no denominador:
. Assim uma forma alternativa é
Ambas as expressões são equivalentes; a segunda às vezes fica mais clara pois evidencia simetria em torno de
(o vértice da parábola está em
).
Passo 5
Interpretando e exemplos rápidos (útil para prova):
- No vértice da parábola
temos e portanto
Isto corresponde a uma curvatura relativamente grande (raio de curvatura
).
- Para
temos , então
Esses exemplos mostram como usar a fórmula rapidamente durante a prova para obter valores num ponto.