Calcule a curvatura \kappa(x) das seguintes curvas planas:
y=2 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a curva plana definida por y=2x-x^{2} e pede para calcular a curvatura \kappa(x) dessa curva.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é y(x)=2x-x^{2}.
  • A pergunta é: obter \kappa(x), a curvatura em função de x.

Passo 2

O que é a curvatura e qual fórmula usar (explicação passo a passo, como se fosse na prova).
  • Intuição rápida: a curvatura mede “o quanto a curva está virando” num ponto. Uma linha reta tem curvatura zero; uma circunferência de raio R tem curvatura constante igual a 1/R.
  • Fórmula prática para uma curva dada como y=f(x): parametrize pela própria variável x (isto é, usar t=x). Para uma parametrização genérica \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) a curvatura é
\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.
  • No caso em que paramos por x (ou seja, x(t)=t e y(t)=y(t)), temos x'(t)=1 e x''(t)=0. Substituindo na fórmula obtemos a forma frequentemente usada em provas:
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}}.
  • Explicando as peças: y'(x) é a derivada primeira (a inclinação da reta tangente) e y''(x) é a derivada segunda (a concavidade). O valor absoluto em cima garante que \kappa\ge0.

Passo 3

Calcular as derivadas primeira e segunda de y=2x-x^{2}. Usando regra do poder:
  • Derivada primeira:
y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x-x^{2}\bigr)=2-2x.
Explanação: derivada de 2x é 2; derivada de -x^{2} é -2x.
  • Derivada segunda:
y''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2-2x\bigr)=-2.
Explanação: derivada de constante 2 é 0; derivada de -2x é -2. Note que y''(x) é constante aqui, o que significa concavidade constante para a parábola.

Passo 4

Substituir y'(x) e y''(x) na fórmula da curvatura e simplificar passo a passo.
  • Primeiro substitui-se:
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}}=\frac{|-2|}{\bigl(1+(2-2x)^{2}\bigr)^{3/2}}.
  • Resolve o valor absoluto no numerador:
|-2|=2,
então
\kappa(x)=\frac{2}{\bigl(1+(2-2x)^{2}\bigr)^{3/2}}.
  • Podemos simplificar o quadrado no denominador: (2-2x)^{2}=4(1-x)^{2}. Assim uma forma alternativa é
\kappa(x)=\frac{2}{\bigl(1+4(1-x)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Ambas as expressões são equivalentes; a segunda às vezes fica mais clara pois evidencia simetria em torno de x=1 (o vértice da parábola está em x=1).

Passo 5

Interpretando e exemplos rápidos (útil para prova):
  • No vértice da parábola x=1 temos (1-x)=0 e portanto
\kappa(1)=\frac{2}{(1+0)^{3/2}}=2.
Isto corresponde a uma curvatura relativamente grande (raio de curvatura R=1/\kappa=1/2).
  • Para x=0 temos (1-x)=1, então
\kappa(0)=\frac{2}{\bigl(1+4\cdot1^{2}\bigr)^{3/2}}=\frac{2}{5^{3/2}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}.
Esses exemplos mostram como usar a fórmula rapidamente durante a prova para obter valores num ponto.

Resposta

\displaystyle \kappa(x)=\frac{2}{\bigl(1+(2-2x)^{2}\bigr)^{3/2}}=\frac{2}{\bigl(1+4(1-x)^{2}\bigr)^{3/2}}

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