Calcule a curvatura
de cada uma das curvas vetoriais a seguir. (Dica: use a fórmula
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a curvatura de uma curva dada. Informações fornecidas:
- A curva vetorial é
. - A dica fornece a fórmula a ser usada:
onde
é a velocidade
e
é a aceleração
.
O que se pede: calcular explicitamente
para a curva dada.
Passo 2
Calcular a velocidade
. Diferenciando componente a componente:
então
Explicação curta: derivada de
é
; derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 3
Calcular a aceleração
. Derivando
:
Explicação: derivada de
é
; derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 4
Preparar para aplicar a fórmula: precisamos do produto vetorial
. Recordando a definição (regra de Sarrus / determinante): para
e
,
Passo 5
Aplicar a fórmula do produto vetorial às componentes encontradas:
Então
Calcular cada componente:
Passo 6
Simplificar usando a identidade trigonométrica
:
Logo
Passo 7
Calcular a norma do produto vetorial
:
Usando
:
Observação didática: a magnitude saiu constante porque as partes dependentes de
se combinaram pela identidade trigonométrica.
Passo 8
Calcular a norma da velocidade
:
Também é constante.
Passo 9
Agora aplicar a fórmula da curvatura fornecida:
Breve comentário intuitivo: a curva é uma hélice circular (componentes
formam um círculo de raio
enquanto
cresce linearmente), e hélices circulares têm curvatura constante; o valor encontrado confirma isso.