Calcule a curvatura \kappa(t) de cada uma das curvas vetoriais a seguir. (Dica: use a fórmula \left.\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)\|}{\|\mathbf{v}(t)\|^{3}}\right).
\mathbf{r}(t)=3 t \mathbf{i}+4 \sin t \mathbf{j}+4 \cos t \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura de uma curva dada. Informações fornecidas:
  • A curva vetorial é \mathbf{r}(t)=3t\,\mathbf{i}+4\sin t\,\mathbf{j}+4\cos t\,\mathbf{k}.
  • A dica fornece a fórmula a ser usada:
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)\|}{\|\mathbf{v}(t)\|^{3}},
onde \mathbf{v}(t) é a velocidade \mathbf{r}'(t) e \mathbf{a}(t) é a aceleração \mathbf{r}''(t).
O que se pede: calcular explicitamente \kappa(t) para a curva dada.

Passo 2

Calcular a velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t). Diferenciando componente a componente:
\mathbf{r}(t)=\bigl(3t,\;4\sin t,\;4\cos t\bigr),
então
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\bigl(3,\;4\cos t,\;-4\sin t\bigr).
Explicação curta: derivada de 3t é 3; derivada de 4\sin t é 4\cos t; derivada de 4\cos t é -4\sin t.

Passo 3

Calcular a aceleração \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t). Derivando \mathbf{v}(t):
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\bigl(0,\;-4\sin t,\;-4\cos t\bigr).
Explicação: derivada de 3 é 0; derivada de 4\cos t é -4\sin t; derivada de -4\sin t é -4\cos t.

Passo 4

Preparar para aplicar a fórmula: precisamos do produto vetorial \mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t). Recordando a definição (regra de Sarrus / determinante): para \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) e \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3),
\mathbf{v}\times\mathbf{a}=\bigl(v_2a_3-v_3a_2,\;v_3a_1-v_1a_3,\;v_1a_2-v_2a_1\bigr).

Passo 5

Aplicar a fórmula do produto vetorial às componentes encontradas:
\begin{aligned} v_1&=3,\quad v_2=4\cos t,\quad v_3=-4\sin t,\\\ a_1&=0,\quad a_2=-4\sin t,\quad a_3=-4\cos t. \end{aligned}
Então
\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)=\bigl( (4\cos t)(-4\cos t)-(-4\sin t)(-4\sin t),\; (-4\sin t)\cdot0-3(-4\cos t),\; 3(-4\sin t)-(4\cos t)\cdot0 \bigr).
Calcular cada componente:
\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)=\bigl(-16\cos^{2}t-16\sin^{2}t,\;12\cos t,\;-12\sin t\bigr).

Passo 6

Simplificar usando a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1:
-16\cos^{2}t-16\sin^{2}t=-16(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=-16.
Logo
\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)=\bigl(-16,\;12\cos t,\;-12\sin t\bigr).

Passo 7

Calcular a norma do produto vetorial \|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)\|:
\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|=\sqrt{(-16)^{2}+(12\cos t)^{2}+(-12\sin t)^{2}}.
Usando \cos^{2}t+\sin^{2}t=1:
\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|=\sqrt{256+144(\cos^{2}t+\sin^{2}t)}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20.
Observação didática: a magnitude saiu constante porque as partes dependentes de t se combinaram pela identidade trigonométrica.

Passo 8

Calcular a norma da velocidade \|\mathbf{v}(t)\|:
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{3^{2}+(4\cos t)^{2}+(-4\sin t)^{2}} =\sqrt{9+16(\cos^{2}t+\sin^{2}t)}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Também é constante.

Passo 9

Agora aplicar a fórmula da curvatura fornecida:
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)\|}{\|\mathbf{v}(t)\|^{3}}=\frac{20}{5^{3}}=\frac{20}{125}=\frac{4}{25}.
Breve comentário intuitivo: a curva é uma hélice circular (componentes y,z formam um círculo de raio 4 enquanto x cresce linearmente), e hélices circulares têm curvatura constante; o valor encontrado confirma isso.

Resposta

\kappa(t)=\dfrac{4}{25}

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