Calcule d Fd t e d^2 Fd t^2 e em seguida determine a equação da reta tangente à trajetória das funções dadas nos pontos solicitados:
F(t)=t^2 i+(tan t) j+e^-t k e F(0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas primeira e segunda de uma função vetorial e depois encontrar a reta tangente à sua trajetória no ponto t=0. O conteúdo aqui é cálculo de função vetorial: derivação componente a componente e equação de reta tangente usando ponto e vetor diretriz.

Passo 2

Para obter dvec Fdt derivamos cada componente de vec F(t)=t^2vec i+(tan t)vec j+e^-tvec k:
dvec Fdt =2t,vec i+sec^2t,vec j- e^-t,vec k

Passo 3

Para obter d^2vec Fdt^2 derivamos novamente componente a componente:
d^2vec Fdt^2 =2,vec i +2sec^2ttan t,vec j +e^-t,vec k

Passo 4

Agora avaliamos em t=0:
vec F(0) =0^2vec i+ tan(0)vec j+e^0vec k =vec k,
dvec Fdt(0) =2cdot0,vec i+sec^2(0),vec j -e^0,vec k =vec j-vec k

Passo 5

A reta tangente à curva em t=0 passa por vec F(0)=vec k e tem vetor diretriz vec j-vec k. Usando parâmetro s,
vec r(s) =vec k+s(vec j-vec k)

Resposta

dvec Fdt =2t,vec i+sec^2t,vec j- e^-t,vec k, d^2vec Fdt^2 =2,vec i+2sec^2ttan t,vec j+e^-t,vec k,
reta tan>=nte: vec r(s)=vec k+s(vec j-vec k)

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