Calcule d^{2} y / d x^{2} se y=\frac{3 x+4}{x+1}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} para a função dada. Informações fornecidas:
  • A função é \displaystyle y=\frac{3x+4}{x+1}.
  • A pergunta é: calcular a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
  • Domínio óbvio: x\neq -1 (pois isso anula o denominador).

Passo 2

Primeiro faço uma simplificação algébrica que facilita a diferenciação: dividir o polinômio do numerador pelo denominador (ou observar que \,3x+4=3(x+1)+1).
Portanto,
\frac{3x+4}{x+1}=3+\frac{1}{x+1}.
Explicação curta: dividir dá um quociente 3 e resto 1, então a fração se escreve como 3+\dfrac{1}{x+1}. Isso é útil porque a derivada de 3 é zero e sobra derivar uma potência negativa.

Passo 3

Calculo a primeira derivada. Uso a regra da derivada de uma potência e a regra da cadeia:
  • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}\bigl(u^{n}\bigr)=n\,u^{n-1}\dfrac{du}{dx}.
    Aqui \dfrac{1}{x+1}=(x+1)^{-1}. Então
y=3+(x+1)^{-1}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=0+\frac{d}{dx}\bigl((x+1)^{-1}\bigr).
Aplicando a regra da potência com u=x+1 e n=-1:
\frac{dy}{dx}=-1\,(x+1)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(x+1)=-1\,(x+1)^{-2}\cdot 1.
Logo
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(x+1)^{2}}.

Passo 4

Agora calculo a segunda derivada, derivando \dfrac{dy}{dx}=- (x+1)^{-2}. Novamente uso a regra da potência e a cadeia:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\left[-(x+1)^{-2}\right]=-1\cdot(-2)\,(x+1)^{-3}\cdot\frac{d}{dx}(x+1).
Como \dfrac{d}{dx}(x+1)=1, obtemos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=2\,(x+1)^{-3}.
Escrevendo em forma de fração:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{2}{(x+1)^{3}}.

Passo 5

Comentário rápido para fixar: poderia também ter usado a regra do quociente direto ( \dfrac{d}{dx}\!\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)=\tfrac{u'v-uv'}{v^{2}}), que levaria ao mesmo resultado, mas a simplificação algébrica tornou tudo mais direto e com menos chance de erro.

Resposta

\dfrac{2}{(x+1)^{3}}

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