Determine a equação da tangente ao gráfico de
em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. O que a questão pede é: determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto de tangência é
. - Verificação rápida (peguei o valor de
da própria função): portanto o ponto realmente pertence ao gráfico de .
Passo 2
Entendendo o que é preciso calcular: a reta tangente em um ponto de um gráfico tem a forma (fórmula ponto-inclinação)
onde
é o ponto de tangência e
é a inclinação (coeficiente angular) da reta naquele ponto.
Importante: a inclinação
da tangente no ponto
é dada pela derivada da função avaliada em
, ou seja
Aqui,
e
. Então a tarefa reduz-se a calcular
e avaliar em
.
Passo 3
Escolhendo um método para derivar: é mais simples reescrever a função como potência para usar a regra da cadeia e a regra do poder. Reescrevendo:
Explicando a regra que vou usar (em palavras simples): se tivermos uma função composta
com
constante, então
ou seja, aplica-se a regra do poder e multiplica-se pela derivada da função interna
(isso é a regra da cadeia).
Passo 4
Aplicando a regra à nossa função. Defina
. Então
. Agora:
Substituindo
e
:
Escrevendo em forma racional:
Passo 5
Avaliar a derivada em
para obter a inclinação
:
Simplificando a fração:
Portanto a inclinação da tangente em
é
.
Passo 6
Agora montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação com
e
:
Podemos passar para a forma
distribuindo e somando: