Determine a equação da tangente ao gráfico de f(x)=\frac{5}{1+x^{2}} em P(-2,1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{5}{1+x^{2}} e o ponto P(-2,1). O que a questão pede é: determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\dfrac{5}{1+x^{2}}.
  • O ponto de tangência é P(-2,1).
  • Verificação rápida (peguei o valor de f(-2) da própria função): f(-2)=\dfrac{5}{1+(-2)^{2}}=\dfrac{5}{1+4}=\dfrac{5}{5}=1,portanto o ponto P(-2,1) realmente pertence ao gráfico de f.

Passo 2

Entendendo o que é preciso calcular: a reta tangente em um ponto de um gráfico tem a forma (fórmula ponto-inclinação)
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0}) é o ponto de tangência e m é a inclinação (coeficiente angular) da reta naquele ponto.
Importante: a inclinação m da tangente no ponto x_{0} é dada pela derivada da função avaliada em x_{0}, ou seja
m=f'(x_{0}).
Aqui, x_{0}=-2 e y_{0}=1. Então a tarefa reduz-se a calcular f'(x) e avaliar em x=-2.

Passo 3

Escolhendo um método para derivar: é mais simples reescrever a função como potência para usar a regra da cadeia e a regra do poder. Reescrevendo:
f(x)=5(1+x^{2})^{-1}.
Explicando a regra que vou usar (em palavras simples): se tivermos uma função composta g(x)=A\cdot u(x)^{n} com A constante, então
g'(x)=A\cdot n\cdot u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x),
ou seja, aplica-se a regra do poder e multiplica-se pela derivada da função interna u(x) (isso é a regra da cadeia).

Passo 4

Aplicando a regra à nossa função. Defina u(x)=1+x^{2}. Então u'(x)=2x. Agora:
f(x)=5\,u(x)^{-1}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=5\cdot(-1)\cdot u(x)^{-2}\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x):
f'(x)=5\cdot(-1)\cdot(1+x^{2})^{-2}\cdot(2x)=-10x\,(1+x^{2})^{-2}.
Escrevendo em forma racional:
f'(x)=\dfrac{-10x}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 5

Avaliar a derivada em x=-2 para obter a inclinação m:
f'(-2)=\dfrac{-10(-2)}{(1+(-2)^{2})^{2}}=\dfrac{20}{(1+4)^{2}}=\dfrac{20}{5^{2}}=\dfrac{20}{25}.
Simplificando a fração:
\dfrac{20}{25}=\dfrac{4}{5}.
Portanto a inclinação da tangente em P é m=\dfrac{4}{5}.

Passo 6

Agora montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação com (x_{0},y_{0})=(-2,1) e m=\dfrac{4}{5}:
y-1=\dfrac{4}{5}\bigl(x-(-2)\bigr)=\dfrac{4}{5}(x+2).
Podemos passar para a forma y=mx+b distribuindo e somando:
y=1+\dfrac{4}{5}x+\dfrac{8}{5}= \dfrac{4}{5}x+\left(1+\dfrac{8}{5}\right)=\dfrac{4}{5}x+\dfrac{13}{5}.

Resposta

y=\dfrac{4}{5}x+\dfrac{13}{5}

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