Calcule d/z dt.
b) z = x^2 + 3 y^2, x = sen(t) e y = cos(t).

Passo 1

Vamos resolver o exercício de cálculo de derivadas. Precisamos encontrar a derivada de em relação a dado que , onde e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que é uma função de e , que por sua vez são funções de . Nossa tarefa é encontrar .

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para derivadas parciais:
Isso significa que precisamos derivar em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a .

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de :

Passo 5

Agora, derivamos e em relação a :

Passo 6

Substituímos essas derivadas na expressão da regra da cadeia:

Passo 7

Agora, substituímos e na equação:

Passo 8

Simplificamos a expressão:

Passo 9

Podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar ainda mais:
Substituindo na expressão:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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