Calcule f(t) dado F(s):
F(s)=-3(s+2)^3+2(s+2)^2+1s+2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a transformada inversa de Laplace de
F(s)=-3(s+2)^3 ;+;2(s+2)^2 ;+;1s+2
Isso faz parte da matéria de Transformada de Laplace (na verdade a gente está fazendo o caminho inverso: L⁻¹). Para resolver, a gente vai usar as fórmulas básicas de transformada inversa:
  1. L⁻¹{1/(s+a)} = e^{-a t}.
  2. L⁻¹{1/(s+a)^n} = \frac{t{n-1}}{(n-1)!},e{-a t}.

Passo 2

Primeiro, lembra da fórmula geral para potências de (s+a):
L^-1l1(s+a)^nr = t^,n-1(n-1)!,e^-a t
Aqui a constante “a” é 2 (porque temos s+2) e n pode ser 1, 2 ou 3 dependendo do termo.

Passo 3

Agora, vamos inverter cada pedaço de L^-1l1(s+2)^3r = t^3-1(3-1)!,e^-2t = t^22!,e^-2t = t^22,e^-2t separadamente:
  1. Para -3 times t^22,e^-2t = -32,t^2,e^-2t :
    • Aqui L^-1l1(s+2)^2r = t^2-1(2-1)!,e^-2t = t,e^-2t e 2 times l(t,e^-2tr) = 2t,e^-2t .
    • Pela fórmula: L^-1l1s+2r = e^-2t
    • Como tem um “-3” multiplicando, fica
  2. Para :
    • Aqui e .
    • Pela fórmula:
    • Multiplicando pelo “2”:
  3. Para :
    • Aqui e .
    • Pela fórmula:

Resposta

Somando tudo, a transformada inversa é
f(t) = -32,t^2,e^-2t ;+;2t,e^-2t ;+;e^-2t ;=;l(-tfrac32t^2+2t+1r),e^-2t

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