8 Equações Bīnômias e Trinômias:

8.1 Introdução: As equações que iremos resolver são chamadas binômias, quando forem escritas na forma a x^{n}+b=0, e as trinômias quando forem escritas na forma a x^{2 n}+b x^{n}+c=0, em ambos os casos, a, b e c são números complexos e n é natural. Como veremos, o número de raízes complexas de uma equação é igual ao seu grau, logo as binômias possuem n e as trinômias, 2 n raízes em
\mathbb{C}), lembrando que as raízes reais são complexas.
Equações Bīnômias: Chama-se de equação binômia toda equação da forma a x^{n}+b=0, em que a, b \in \mathbb{C}, a \neq 0 en \in \mathbb{N}.
a x^{n}+b=0
Para resolver uma equação binômia basta isolar x^{n} e aplicar a definição de radiciação em \mathbb{C}, encontrando assim n raízes.
a x^{n}+b=0 \Leftrightarrow x^{n}=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}

Passo 1

O problema que vamos resolver é: encontrar todas as soluções complexas da equação binômia
a x^{n}+b=0,
sendo dados: a,b\in\mathbb{C}, a\neq 0 e n\in\mathbb{N}.
O que se pede explicitamente é determinar todos os x\in\mathbb{C} que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a e b são números complexos (podem ser reais), a\neq 0 (logo podemos dividir por a) e o expoente n é natural.

Passo 2

Isolamos x^{n} dividindo ambos os lados por a e passando b para o outro lado:
a x^{n}+b=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{n}=-\frac{b}{a}.
Aqui usei apenas operações algébricas básicas: subtração de b e divisão por a (válida porque a\neq 0). Agora a questão virou: encontrar todas as raízes n-ésimas do número complexo -\dfrac{b}{a}.

Passo 3

Para resolver x^{n}=z com z\in\mathbb{C}\setminus\{0\} é muito útil escrever z na forma polar (ou exponencial). Qualquer z\neq 0 pode ser escrito como
z = r e^{i\theta},
onde r=|z|=\sqrt{(\Re z)^2+(\Im z)^2} é o módulo e \theta=\arg(z) é o argumento (um ângulo tal que z está na direção \theta). Explicando como achar cada um: se z=x+iy, então
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
e \theta é um ângulo que satisfaz \cos\theta=\dfrac{x}{r} e \sin\theta=\dfrac{y}{r}; normalmente tomamos \theta no intervalo principal (-\pi,\pi] ou [0,2\pi), mas qualquer \theta+2\pi m representa o mesmo número complexo.

Passo 4

Agora apliquei a definição de radiciação em \mathbb{C}. Se x^{n}=r e^{i\theta}, então as n raízes são obtidas distribuindo os 2\pi de folga entre as raízes. A fórmula geral das n raízes é
x_{k}=r^{1/n}\,e^{i\frac{\theta+2\pi k}{n}},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Explicando por que: elevando x_{k} à potência n temos x_{k}^{n}=r e^{i(\theta+2\pi k)}=r e^{i\theta}=z porque e^{i2\pi k}=1. Os valores para k distintos de 0 a n-1 dão exatamente as n raízes distintas (devido à periodicidade) e não aparecem outras novas além dessas.

Passo 5

Voltando ao nosso problema, tomamos z=-\dfrac{b}{a}. Se z=0 (caso especial que acontece se b=0), então x^{n}=0 e a única solução é x=0. Supondo z\neq 0, escrevemos
-\frac{b}{a}=r e^{i\theta}
com r=\left|-\dfrac{b}{a}\right| e \theta=\arg\!\left(-\dfrac{b}{a}\right). Aplicando a fórmula das raízes, obtemos as soluções da binômia:
x_{k}=r^{1/n}\,e^{i\frac{\theta+2\pi k}{n}},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Também é útil escrever em forma trigonométrica:
x_{k}=r^{1/n}\left[\cos\!\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)+i\sin\!\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)\right].

Passo 6

Dicas práticas para a prova, passo-a-passo rápido que você pode aplicar sem pânico:
  1. Isolar: escreva x^{n}=-\dfrac{b}{a}.
  2. Se o lado direito for 0, resposta x=0. Se não, calcule o módulo r=\left|-\dfrac{b}{a}\right|.
  3. Calcule um argumento \theta=\arg\!\left(-\dfrac{b}{a}\right) (se for número real negativo, \theta=\pi; se for positivo, \theta=0; para complexos, calcule com \arctan cuidando do quadrante).
  4. Use a fórmula x_{k}=r^{1/n}e^{i(\theta+2\pi k)/n} para k=0,\dots,n-1.
  5. Se pedirem respostas em forma cartesiana, converta cada x_{k} usando \cos e \sin.

Passo 7

Exemplo 1 (para fixar): resolver \;x^{4}-16=0.
Isolamos: x^{4}=16. Escrevemos 16=16e^{i0} (módulo r=16, argumento \theta=0). Então r^{1/4}=16^{1/4}=2 e
x_{k}=2e^{i\frac{2\pi k}{4}}=2e^{i\frac{\pi k}{2}},\qquad k=0,1,2,3.
Calculando:
x_{0}=2,\quad x_{1}=2e^{i\pi/2}=2i,\quad x_{2}=2e^{i\pi}=-2,\quad x_{3}=2e^{i3\pi/2}=-2i.
Pronto: as quatro raízes são \{2,\,2i,\,-2,\,-2i\}.

Passo 8

Exemplo 2 (raiz de número negativo real): resolver \;x^{3}=-8.
Escrevemos -8=8e^{i\pi} (argumento principal \pi). Então r^{1/3}=8^{1/3}=2 e
x_{k}=2e^{i\frac{\pi+2\pi k}{3}},\qquad k=0,1,2.
Calculando:
x_{0}=2e^{i\pi/3}=1+i\sqrt{3},\quad x_{1}=2e^{i\pi}=-2,\quad x_{2}=2e^{i5\pi/3}=1-i\sqrt{3}.

Passo 9

Exemplo 3 (coeficientes complexos, fixando mecânica de cálculo): resolver (1+i)x^{2}+(1-i)=0.
Isolamos:
x^{2}=-\frac{1-i}{1+i}.
Calcule a fração multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 1-i:
\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^{2}}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-2i+i^{2}}{1+1}=\frac{-2i}{2}=-i.
Logo x^{2}=-(-i)=i. Escrevemos i=e^{i\pi/2}, então r=1, r^{1/2}=1 e as soluções são
x_{k}=e^{i\frac{\pi/2+2\pi k}{2}}=e^{i(\pi/4 + k\pi)},\qquad k=0,1.
Portanto
x_{0}=e^{i\pi/4}=\frac{1+i}{\sqrt{2}},\qquad x_{1}=e^{i5\pi/4}=-\frac{1+i}{\sqrt{2}}.

Passo 10

Recapitulando e respirando fundo: o truque é sempre o mesmo — isolar x^{n}, escrever o número do lado direito em forma polar, tirar a raiz do módulo e dividir o argumento por n, lembrando de adicionar 2\pi k para pegar todas as raízes distintas. Fazendo passo a passo fica tranquilo — e você já viu três exemplos práticos.

Resposta

x_{k}=\left|-\frac{b}{a}\right|^{1/n}\exp\!\left(i\frac{\arg\!\left(-\dfrac{b}{a}\right)+2\pi k}{n}\right),\qquad k=0,1,\dots,n-1.

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