2-Calcule pela definição a função
Passo 1
O enunciado pede que calculemos, “pela definição”, a derivada da função
.
Informações dadas: a função é .
O que devemos retornar: a expressão da derivada obtida usando a definição (limite do quociente de diferença).
Informações dadas: a função é
O que devemos retornar: a expressão da derivada
Passo 2
Vamos escrever a definição que vamos usar (a própria “definição” pedida no enunciado). A derivada de uma função
num ponto
é dada por
Aqui
é um incremento pequeno na variável
. A ideia é ver a taxa de variação média de
num intervalo de tamanho
e depois fazer
tender a zero para obter a taxa instantânea.
Passo 3
Vou aplicar essa definição à nossa função. Primeiro preciso calcular
. Substituo
na expressão de
:
Agora vamos expandir
.
Passo 4
Expandindo
usamos a identidade
. Então
Multiplicando por
:
Passo 5
Agora montamos o numerador do quociente de diferença:
. Sabemos que
. Subtraindo:
Os termos
e
se cancelam, ficando:
Passo 6
Dividimos pelo
(lembrando que
ao formar o quociente) para obter o quociente de diferença:
Fatorando
no numerador ou simplificando termo a termo:
Essa simplificação é válida para
.
Passo 7
Agora tomamos o limite quando
:
Como
não depende de
e
quando
, o limite é simplesmente
Passo 8
Vamos interpretar o resultado e dar um exemplo numérico rápido para fixar: a derivada
significa que, num ponto
, a taxa de variação instantânea de
é
. Por exemplo, em
temos
. Isso quer dizer que, perto de
, se aumentarmos
de um pequeno
, a mudança aproximada em
é
.