2-Calcule pela definição a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^{2}+4

Passo 1

O enunciado pede que calculemos, “pela definição”, a derivada da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=3\mathrm{x}^{2}+4.
Informações dadas: a função é \mathrm{f}(\mathrm{x})=3\mathrm{x}^{2}+4.
O que devemos retornar: a expressão da derivada \mathrm{f}'(\mathrm{x}) obtida usando a definição (limite do quociente de diferença).

Passo 2

Vamos escrever a definição que vamos usar (a própria “definição” pedida no enunciado). A derivada de uma função f num ponto x é dada por
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é um incremento pequeno na variável x. A ideia é ver a taxa de variação média de f num intervalo de tamanho h e depois fazer h tender a zero para obter a taxa instantânea.

Passo 3

Vou aplicar essa definição à nossa função. Primeiro preciso calcular f(x+h). Substituo x+h na expressão de f:
f(x+h)=3(x+h)^{2}+4.
Agora vamos expandir (x+h)^{2}.

Passo 4

Expandindo (x+h)^{2} usamos a identidade (x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}. Então
f(x+h)=3\big(x^{2}+2xh+h^{2}\big)+4.
Multiplicando por 3:
f(x+h)=3x^{2}+6xh+3h^{2}+4.

Passo 5

Agora montamos o numerador do quociente de diferença: f(x+h)-f(x). Sabemos que f(x)=3x^{2}+4. Subtraindo:
f(x+h)-f(x)=(3x^{2}+6xh+3h^{2}+4)-(3x^{2}+4).
Os termos 3x^{2} e 4 se cancelam, ficando:
f(x+h)-f(x)=6xh+3h^{2}.

Passo 6

Dividimos pelo h (lembrando que h\neq 0 ao formar o quociente) para obter o quociente de diferença:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{6xh+3h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador ou simplificando termo a termo:
\frac{6xh+3h^{2}}{h}=6x+3h.
Essa simplificação é válida para h\neq 0.

Passo 7

Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}(6x+3h).
Como 6x não depende de h e 3h\to 0 quando h\to 0, o limite é simplesmente
f'(x)=6x.

Passo 8

Vamos interpretar o resultado e dar um exemplo numérico rápido para fixar: a derivada f'(x)=6x significa que, num ponto x, a taxa de variação instantânea de f é 6x. Por exemplo, em x=2 temos f'(2)=6\cdot 2=12. Isso quer dizer que, perto de x=2, se aumentarmos x de um pequeno \Delta x, a mudança aproximada em f é 12\cdot \Delta x.

Resposta

\mathrm{f}'(\mathrm{x})=6\mathrm{x}

Exercícios relacionados