Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas de:
f(x)=2 \sqrt{x} \cdot \operatorname{cox}(x), com x>0, aplicando corretamente a regra do produto.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f definida por
f(x)=2\sqrt{x}\cdot \operatorname{cox}(x),\quad x>0.
Informações relevantes que temos:
\;x>0 (isso garante que \sqrt{x} está bem definida como número real);
a função é produto de duas funções: uma função explícita 2\sqrt{x} e outra representada por \operatorname{cox}(x).
A pergunta é: determinar f'(x) aplicando corretamente a regra do produto.

Passo 2

Identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas. Definimos
u(x)=2\sqrt{x}\quad\text{e}\quad v(x)=\operatorname{cox}(x).
Vou usar a regra do produto, que diz o seguinte: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando por que: basicamente a variação do produto vem da soma das variações de cada fator mantendo o outro fixo — é a forma padronizada de derivar um produto. Não preciso demonstrar formalmente aqui; o importante é saber aplicar.

Passo 3

Calculamos u'(x). Primeiro escrevemos \sqrt{x} como potência: \sqrt{x}=x^{1/2}. Então
u(x)=2x^{1/2}.
Aplicando a regra da potência (se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}), obtemos
u'(x)=2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=x^{-1/2}.
Escrevendo em termos de raiz:
u'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}.
Expliquei passo a passo: multipliquei o expoente por 2 e depois diminui o expoente em 1; os fatores 2 e 1/2 se cancelaram.

Passo 4

Tratamos agora v'(x). Como o enunciado usou a notação \operatorname{cox}(x) sem explicar a função, não podemos assumir automaticamente que é \cos(x). Portanto deixamos a derivada indicada por
v'(x)=\big(\operatorname{cox}\big)'(x).
Isto significa: tome a derivada da função \operatorname{cox} em relação a x. Observação útil: se por acaso \operatorname{cox}(x) for mesmo \cos(x), então \big(\operatorname{cox}\big)'(x)=-\sin(x). Mas aqui mantemos a notação geral \big(\operatorname{cox}\big)'(x).

Passo 5

Aplicamos a regra do produto f'(x)=u'v+uv' usando os resultados anteriores:
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\;\operatorname{cox}(x)+2\sqrt{x}\;\big(\operatorname{cox}\big)'(x).
Podemos escrever de forma ligeiramente mais compacta, colocando tudo sobre \sqrt{x}:
f'(x)=\frac{\operatorname{cox}(x)}{\sqrt{x}}+\;2\sqrt{x}\,\big(\operatorname{cox}\big)'(x)
ou fatorando \dfrac{1}{\sqrt{x}}:
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\Big(\operatorname{cox}(x)+2x\;\big(\operatorname{cox}\big)'(x)\Big).
Escolha a forma que achar mais conveniente na prova; ambas são equivalentes. A primeira é direta e costuma ser a mais prática.

Passo 6

Dicas para a prova (rápido e prático):
  1. Sempre identifique os dois fatores do produto e calcule as derivadas separadamente (aqui a derivada de 2\sqrt{x} é imediata usando potência).
  2. Não troque ou esqueça o termo u(x)v'(x) — é o erro mais comum.
  3. Se aparecer \operatorname{cox} e você souber que é \cos, substitua \big(\operatorname{cox}\big)'(x) por -\sin(x) e simplifique.
    Força aí — você já montou a solução completa e sabe como aplicar em qualquer produto parecido!

Resposta

f'(x)=\frac{\operatorname{cox}(x)}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\,\big(\operatorname{cox}\big)'(x)

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