Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas de:
, com
, aplicando corretamente a regra do produto.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
definida por
Informações relevantes que temos:
(isso garante que
está bem definida como número real);
a função é produto de duas funções: uma função explícita e outra representada por
.
A pergunta é: determinar aplicando corretamente a regra do produto.
a função é produto de duas funções: uma função explícita
A pergunta é: determinar
Passo 2
Identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas. Definimos
Vou usar a regra do produto, que diz o seguinte: se
, então
Explicando por que: basicamente a variação do produto vem da soma das variações de cada fator mantendo o outro fixo — é a forma padronizada de derivar um produto. Não preciso demonstrar formalmente aqui; o importante é saber aplicar.
Passo 3
Calculamos
. Primeiro escrevemos
como potência:
. Então
Aplicando a regra da potência (se
então
), obtemos
Escrevendo em termos de raiz:
Expliquei passo a passo: multipliquei o expoente por 2 e depois diminui o expoente em 1; os fatores
e
se cancelaram.
Passo 4
Tratamos agora
. Como o enunciado usou a notação
sem explicar a função, não podemos assumir automaticamente que é
. Portanto deixamos a derivada indicada por
Isto significa: tome a derivada da função
em relação a
. Observação útil: se por acaso
for mesmo
, então
. Mas aqui mantemos a notação geral
.
Passo 5
Aplicamos a regra do produto
usando os resultados anteriores:
Podemos escrever de forma ligeiramente mais compacta, colocando tudo sobre
:
ou fatorando
:
Escolha a forma que achar mais conveniente na prova; ambas são equivalentes. A primeira é direta e costuma ser a mais prática.
Passo 6
Dicas para a prova (rápido e prático):
- Sempre identifique os dois fatores do produto e calcule as derivadas separadamente (aqui a derivada de
é imediata usando potência). - Não troque ou esqueça o termo
— é o erro mais comum. - Se aparecer
e você souber que é , substitua por e simplifique.
Força aí — você já montou a solução completa e sabe como aplicar em qualquer produto parecido!