Questão 14. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o supremo do conjunto
é
.
Informações dadas e claras desde o enunciado:
Informações dadas e claras desde o enunciado:
- O conjunto é
. - Os elementos de
são números reais da forma , com um natural positivo. - A tarefa é provar que
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “supremo” de um conjunto
, porque isso é essencial para a prova.
- Dizemos que
é uma cota superior de se, para todo , vale . - O supremo
é a menor das cotas superiores: é uma cota superior e nenhuma cota superior menor que ela existe.
Vou usar essa definição para mostrar dois fatos: (i)é cota superior de e (ii) nenhum número menor que é cota superior. Esses dois fatos juntos implicam .
Passo 3
Provar que
é cota superior de
.
Tome um elemento arbitrário de : ele tem a forma
com
. Como
é natural positivo,
. Portanto
Tome um elemento arbitrário de
Isto vale para todo
, logo todo elemento de
é estritamente menor que
. Assim
é, de fato, uma cota superior de
.
Passo 4
Mostrar que nenhum número menor que
é cota superior de
. Vou fazer isso de forma construtiva: seja
com
. Quero encontrar um elemento de
maior que
, o que prova que
não é cota superior.
Defina . Então
. Escolha
tal que
Defina
Isso é sempre possível porque os naturais são arbitrariamente grandes. Da desigualdade
segue que
. Subtraindo de
ambos os lados obtemos
Mas
. Logo existe um elemento de
maior que
, o que mostra que
não é cota superior de
.
Passo 5
Concluir a partir dos passos anteriores.
- De Passo 3:
é cota superior de . - De Passo 4: nenhum número menor que
é cota superior de .
Portantoé a menor cota superior de , ou seja, .