Questão 14. Mostre que \sup \{1-1 \backslash n: n \in \mathbb{N}\}=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o supremo do conjunto \{1-1/n : n \in \mathbb{N}\} é 1.
Informações dadas e claras desde o enunciado:
  • O conjunto é A=\{\,1-\tfrac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\,\}.
  • Os elementos de A são números reais da forma 1-\tfrac{1}{n}, com n um natural positivo.
  • A tarefa é provar que \sup A=1.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “supremo” de um conjunto A\subset\mathbb{R}, porque isso é essencial para a prova.
  • Dizemos que u\in\mathbb{R} é uma cota superior de A se, para todo a\in A, vale a\le u.
  • O supremo \sup A é a menor das cotas superiores: é uma cota superior e nenhuma cota superior menor que ela existe.
    Vou usar essa definição para mostrar dois fatos: (i) 1 é cota superior de A e (ii) nenhum número menor que 1 é cota superior. Esses dois fatos juntos implicam \sup A=1.

Passo 3

Provar que 1 é cota superior de A.
Tome um elemento arbitrário de A: ele tem a forma 1-\tfrac{1}{n} com n\in\mathbb{N}. Como n é natural positivo, \tfrac{1}{n}>0. Portanto
1-\tfrac{1}{n} < 1.
Isto vale para todo n\in\mathbb{N}, logo todo elemento de A é estritamente menor que 1. Assim 1 é, de fato, uma cota superior de A.

Passo 4

Mostrar que nenhum número menor que 1 é cota superior de A. Vou fazer isso de forma construtiva: seja u\in\mathbb{R} com u<1. Quero encontrar um elemento de A maior que u, o que prova que u não é cota superior.
Defina \varepsilon=1-u. Então \varepsilon>0. Escolha n\in\mathbb{N} tal que
n>\frac{1}{\varepsilon}.
Isso é sempre possível porque os naturais são arbitrariamente grandes. Da desigualdade n>\tfrac{1}{\varepsilon} segue que \tfrac{1}{n}<\varepsilon. Subtraindo de 1 ambos os lados obtemos
1-\tfrac{1}{n} > 1-\varepsilon = u.
Mas 1-\tfrac{1}{n}\in A. Logo existe um elemento de A maior que u, o que mostra que u não é cota superior de A.

Passo 5

Concluir a partir dos passos anteriores.
  • De Passo 3: 1 é cota superior de A.
  • De Passo 4: nenhum número menor que 1 é cota superior de A.
    Portanto 1 é a menor cota superior de A, ou seja, \sup A=1.

Resposta

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