Calcule, pela definição de raiz enésima,
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, pela definição de raiz enésima, a raiz quadrada do número complexo
. Ou seja, queremos encontrar todos os complexos
tais que
Informações dadas:
- O número complexo cujo quadrado queremos tirar é
.
O que será entregue ao final:
- As duas raízes quadradas (pois um número complexo não-nulo tem exatamente duas raízes quadradas), cada uma em forma cartesiana
.
Passo 2
Vamos traduzir a definição: procurar
com
tais que
Desenvolvendo o quadrado do binômio:
Igualando parte real e parte imaginária com
obtemos o sistema real:
Passo 3
Para resolver o sistema, é útil também usar a relação entre módulos: se
então
, porque
e
. Aqui
Como
, temos
Passo 4
Agora temos um sistema simples formado por
e
. Somando as duas equações:
Logo
Passo 5
Subtraindo as duas equações (ou apenas usando
com
) encontramos
:
portanto
Mas os sinais de
e
não são independentes: devem satisfazer
(segunda equação original), ou seja
.
Passo 6
Verificamos as combinações de sinais compatíveis com
:
- Se
então . - Se
então .
Assim obtemos as duas soluções:
Passo 7
Como verificação rápida (confirmação de que não houve erro): calcular
:
logo está correto. O outro é simplesmente o negativo, e
também.