Calcule, pela definição de raiz enésima, \sqrt{-16+30 i}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, pela definição de raiz enésima, a raiz quadrada do número complexo \,-16+30\,i. Ou seja, queremos encontrar todos os complexos w tais que
w^{2} = -16+30\,i.
Informações dadas:
  • O número complexo cujo quadrado queremos tirar é \,-16+30\,i.
O que será entregue ao final:
  • As duas raízes quadradas (pois um número complexo não-nulo tem exatamente duas raízes quadradas), cada uma em forma cartesiana x+iy.

Passo 2

Vamos traduzir a definição: procurar w=x+iy com x,y\in\mathbb{R} tais que
(x+iy)^{2} = -16+30\,i.
Desenvolvendo o quadrado do binômio:
(x+iy)^{2} = x^{2}-y^{2} + 2xy\,i.
Igualando parte real e parte imaginária com -16+30\,i obtemos o sistema real:
\begin{cases} x^{2}-y^{2} = -16,\\[4pt] 2xy = 30. \end{cases}]

Passo 3

Para resolver o sistema, é útil também usar a relação entre módulos: se w^{2}=z então |w|^{2}=|z|, porque |w^{2}|=|w|^{2} e |w^{2}|=|z|. Aqui
|z| = |{-16+30\,i}| = \sqrt{(-16)^{2} + 30^{2}} = \sqrt{256+900} = \sqrt{1156} = 34.
Como |w|^{2}=x^{2}+y^{2}, temos
x^{2}+y^{2} = 34.

Passo 4

Agora temos um sistema simples formado por x^{2}-y^{2}=-16 e x^{2}+y^{2}=34. Somando as duas equações:
(x^{2}-y^{2}) + (x^{2}+y^{2}) = -16 + 34 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2} = 18.
Logo
x^{2} = 9 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 3.

Passo 5

Subtraindo as duas equações (ou apenas usando x^{2}+y^{2}=34 com x^{2}=9) encontramos y^{2}:
(x^{2}+y^{2}) - (x^{2}-y^{2}) = 34 - (-16) \quad\Rightarrow\quad 2y^{2} = 50,
portanto
y^{2} = 25 \quad\Rightarrow\quad y = \pm 5.
Mas os sinais de x e y não são independentes: devem satisfazer 2xy=30 (segunda equação original), ou seja xy=15.

Passo 6

Verificamos as combinações de sinais compatíveis com xy=15:
  • Se x=3 então y=15/3=5.
  • Se x=-3 então y=15/(-3)=-5.
Assim obtemos as duas soluções:
w_{1} = 3+5\,i,\qquad w_{2} = -3-5\,i.

Passo 7

Como verificação rápida (confirmação de que não houve erro): calcular (3+5\,i)^{2}:
(3+5\,i)^{2} = 3^{2}-5^{2} + 2\cdot 3\cdot 5\,i = 9-25 + 30\,i = -16+30\,i,
logo está correto. O outro é simplesmente o negativo, e (-3-5\,i)^{2}=(-1)^{2}(3+5\,i)^{2} = -16+30\,i também.

Resposta

3+5\,i
-3-5\,i

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