Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a potência
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A base é o número complexo
. - Deve-se elevar essa base à potência
.
Passo 2
Primeiro passo prático: reconhecer a forma trigonométrica (ou exponencial) do número complexo dado. Vou escrever o número como
Repare que os coeficientes lembram as razões trigonométricas de ângulos notáveis:
e
. Assim podemos ver que
Passo 3
Explicar a relação entre
e
e a forma exponencial: para qualquer ângulo
vale
e também
Portanto, usando
, temos a representação exponencial de
:
(Isto é só reescrever o número complexo em módulo-argumento; aqui o módulo é
porque
.)
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade das potências na forma exponencial: se
então
No nosso caso
e
, então
Passo 5
Simplificar o expoente:
Então
Passo 6
Explicar a ideia de reduzir o ângulo módulo
: a função exponencial complexa é
-periódica no argumento, ou seja
para todo inteiro
. Assim podemos subtrair múltiplos inteiros de
do ângulo para obter um ângulo equivalente no intervalo
(ou outro intervalo de comprimento
).
Calculemos como decompor
em múltiplos de
:
porque
. Portanto
Como
(já que
é múltiplo de
), obtemos a forma reduzida
Passo 7
Expressar a forma exponencial em forma trigonométrica:
Agora calcular os valores trigonométricos (ângulos notáveis):
Passo 8
Resumo do raciocínio (para fixar a técnica):
- Converter o complexo para a forma
ou . - Usar
. - Reduzir o ângulo módulo
. - Voltar à forma
e ou à forma substituindo os valores trigonométricos conhecidos.