Calcule:
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)^{100}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência
\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}\right)^{100}.
Informações dadas:
  • A base é o número complexo \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{i}{2}.
  • Deve-se elevar essa base à potência 100.

Passo 2

Primeiro passo prático: reconhecer a forma trigonométrica (ou exponencial) do número complexo dado. Vou escrever o número como
z = \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}.
Repare que os coeficientes lembram as razões trigonométricas de ângulos notáveis: \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}. Assim podemos ver que
z=\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)-i\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right).

Passo 3

Explicar a relação entre \cos e \sin e a forma exponencial: para qualquer ângulo \theta vale
\cos\theta+i\sin\theta = e^{i\theta},
e também
\cos\theta-i\sin\theta = e^{-i\theta}.
Portanto, usando \theta=\dfrac{\pi}{6}, temos a representação exponencial de z:
z = e^{-i\pi/6}.
(Isto é só reescrever o número complexo em módulo-argumento; aqui o módulo é 1 porque \cos^2+\sin^2=1.)

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade das potências na forma exponencial: se z=e^{i\varphi} então
z^n = e^{i n \varphi}.
No nosso caso z=e^{-i\pi/6} e n=100, então
z^{100} = \left(e^{-i\pi/6}\right)^{100} = e^{-i(100)\pi/6}.

Passo 5

Simplificar o expoente:
- \frac{100\pi}{6} = -\frac{50\pi}{3}.
Então
z^{100} = e^{-i\frac{50\pi}{3}}.

Passo 6

Explicar a ideia de reduzir o ângulo módulo 2\pi: a função exponencial complexa é 2\pi-periódica no argumento, ou seja e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta} para todo inteiro k. Assim podemos subtrair múltiplos inteiros de 2\pi do ângulo para obter um ângulo equivalente no intervalo [0,2\pi) (ou outro intervalo de comprimento 2\pi).
Calculemos como decompor \dfrac{50\pi}{3} em múltiplos de 2\pi:
\frac{50\pi}{3} = 16\pi + \frac{2\pi}{3},
porque \dfrac{50}{3}=16+\dfrac{2}{3}. Portanto
e^{-i\frac{50\pi}{3}} = e^{-i(16\pi + \frac{2\pi}{3})} = e^{-i16\pi}\,e^{-i\frac{2\pi}{3}}.
Como e^{-i16\pi} = 1 (já que 16\pi é múltiplo de 2\pi), obtemos a forma reduzida
z^{100} = e^{-i\frac{2\pi}{3}}.

Passo 7

Expressar a forma exponencial em forma trigonométrica:
z^{100} = \cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right) - i\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right).
Agora calcular os valores trigonométricos (ângulos notáveis):
\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}, \qquad \sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 8

Resumo do raciocínio (para fixar a técnica):
  • Converter o complexo para a forma e^{i\theta} ou e^{-i\theta}.
  • Usar z^n = e^{i n \theta}.
  • Reduzir o ângulo módulo 2\pi.
  • Voltar à forma \cos e \sin ou à forma a+bi substituindo os valores trigonométricos conhecidos.

Resposta

-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i

Exercícios relacionados