Escreva o número complexo
na forma
e na forma trigonométrica.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o número complexo
e escrever o resultado (1) na forma
(forma cartesiana/retangular) e (2) na forma trigonométrica
.
Informações dadas:
- A expressão a ser simplificada é
. - O objetivo final é apresentar a forma
e a forma trigonométrica.
Passo 2
Primeiro simplificar cada termo separado. Vou começar por
. Para dividir por um número complexo é prático multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para obter denominador real.
Lembrete rápido (o que é conjugado e por que usar):
- Para um complexo
, o conjugado é . - Multiplicar
por dá um número real: . - Assim,
.
Calcule o denominador:
Portanto
Passo 3
Agora simplificar
. Há duas maneiras fáceis: lembrar que
porque
, ou multiplicar por
. Resultado:
Passo 4
Subtrair os dois resultados:
Somando as partes imaginárias:
Portanto a forma cartesiana é
com
e
.
Passo 5
Agora passar para a forma trigonométrica. Passos para converter:
- Calcular o módulo
. - Calcular o argumento
(ou simplesmente ajustando o quadrante).
Aqui
e
. Calcule o módulo:
Calcule o argumento. Como
e
, o ângulo está no primeiro quadrante e
Uma forma equivalente e às vezes mais instrutiva é expressar
e
a partir de um triângulo retângulo com catetos
e
(pois
). A hipotenusa é
, então
Verifique que multiplicando
por esses valores recupera os componentes:
Assim a forma trigonométrica é
ou, explicitando
e
,
Também, se quiser aproximar numericamente: