Escreva o número complexo \frac{1}{1-i}-\frac{1}{i} na forma a+b i e na forma trigonométrica.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número complexo
\frac{1}{1-i}-\frac{1}{i}
e escrever o resultado (1) na forma a+b\,i (forma cartesiana/retangular) e (2) na forma trigonométrica r(\cos\theta+i\sin\theta).
Informações dadas:
  • A expressão a ser simplificada é \dfrac{1}{1-i}-\dfrac{1}{i}.
  • O objetivo final é apresentar a forma a+b\,i e a forma trigonométrica.

Passo 2

Primeiro simplificar cada termo separado. Vou começar por \dfrac{1}{1-i}. Para dividir por um número complexo é prático multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para obter denominador real.
Lembrete rápido (o que é conjugado e por que usar):
  • Para um complexo z = x+yi, o conjugado é \overline{z}=x-yi.
  • Multiplicar z por \overline{z} dá um número real: z\overline{z}=x^2+y^2.
  • Assim, \dfrac{1}{1-i}=\dfrac{1}{1-i}\cdot\dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{1+i}{(1-i)(1+i)}.
Calcule o denominador:
(1-i)(1+i)=1^2-(i)^2=1-(-1)=2.
Portanto
\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i.

Passo 3

Agora simplificar \dfrac{1}{i}. Há duas maneiras fáceis: lembrar que i^{-1}=-i porque i\cdot(-i)=-i^2=1, ou multiplicar por -i/-i. Resultado:
\frac{1}{i}=-i.

Passo 4

Subtrair os dois resultados:
\frac{1}{1-i}-\frac{1}{i}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)-(-i)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i+i.
Somando as partes imaginárias:
\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i+i=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i.
Portanto a forma cartesiana é a+b\,i com a=\dfrac{1}{2} e b=\dfrac{3}{2}.

Passo 5

Agora passar para a forma trigonométrica. Passos para converter:
  1. Calcular o módulo r=\sqrt{a^2+b^2}.
  2. Calcular o argumento \theta=\operatorname{atan2}(b,a) (ou simplesmente \arctan\!\big(\tfrac{b}{a}\big) ajustando o quadrante).
Aqui a=\dfrac{1}{2} e b=\dfrac{3}{2}. Calcule o módulo:
r=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}.
Calcule o argumento. Como a>0 e b>0, o ângulo está no primeiro quadrante e
\theta=\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)=\arctan\!\left(\frac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{1}{2}}\right)=\arctan(3).
Uma forma equivalente e às vezes mais instrutiva é expressar \cos\theta e \sin\theta a partir de um triângulo retângulo com catetos 1 e 3 (pois \tan\theta=3/1). A hipotenusa é \sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}, então
\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{10}},\qquad \sin\theta=\frac{3}{\sqrt{10}}.
Verifique que multiplicando r por esses valores recupera os componentes:
r\cos\theta=\frac{\sqrt{10}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{1}{2},\qquad r\sin\theta=\frac{\sqrt{10}}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3}{2}.
Assim a forma trigonométrica é
\frac{\sqrt{10}}{2}\big(\cos(\arctan 3)+i\sin(\arctan 3)\big),
ou, explicitando \cos\theta e \sin\theta,
\frac{\sqrt{10}}{2}\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\quad\text{com}\quad \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{10}},\\ \sin\theta=\frac{3}{\sqrt{10}},\\ \theta=\arctan 3.
Também, se quiser aproximar numericamente:
r\approx 1,5811,\qquad \theta\approx 1,2490\\ \text{rad}\approx 71,565^\circ.

Resposta

\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}i
\dfrac{\sqrt{10}}{2}\big(\cos(\arctan 3)+i\sin(\arctan 3)\big)

Exercícios relacionados