Calcule, pela definição, os seguintes logarítmos:
\quad \log _{8}(32)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \log_{8}(32). Informações dadas:
  • A base do logaritmo é 8.
  • O argumento (o número cujo logaritmo se quer) é 32.
  • Ambos são positivos e a base não é 1, logo o logaritmo está bem definido.

Passo 2

Definição (essencial): \log_{b}(a)=x significa que b^{x}=a, onde b>0, b\neq1 e a>0. Em palavras: o logaritmo é o expoente que a base b precisa ser elevada para produzir a. Exemplo rápido: \log_{10}(100)=2 porque 10^{2}=100.

Passo 3

Aplicando a definição ao problema: seja x=\log_{8}(32). Isso significa que devemos resolver a equação
8^{x}=32.

Passo 4

Observação útil para simplificar: tanto 8 quanto 32 são potências de 2. Escrevemos isso explicitamente:
8=2^{3},\qquad 32=2^{5}.
(peguei esses valores ao reconhecer as potências de 2 correspondentes aos números do enunciado)

Passo 5

Substituindo essas expressões na equação 8^{x}=32, obtemos
(2^{3})^{x}=2^{5}.

Passo 6

Usando a propriedade de potências (a^{m})^{n}=a^{mn}, a igualdade anterior vira
2^{3x}=2^{5}.
Como as bases são iguais e diferentes de 1, os expoentes devem ser iguais; portanto
3x=5.

Passo 7

Resolvendo 3x=5 para x:
x=\frac{5}{3}.

Passo 8

Verificação rápida (para aumentar a confiança): calcular 8^{5/3}.
8^{5/3}=(8^{1/3})^{5}=2^{5}=32,
portanto o valor encontrado está correto.

Resposta

\dfrac{5}{3}

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