Calcule, pela definição, os seguintes logarítmos:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A base do logaritmo é
. - O argumento do logaritmo é
, que é um número positivo (condição necessária para logaritmos reais).
A tarefa é usar a definição (formal) de logaritmo para encontrar o valor numérico.
Passo 2
Recordando a definição de logaritmo (explicando com calma):
significa, por definição, que
onde
,
e
.
Aqui:
Aqui:
-
é a base do logaritmo (aqui ); -
é o argumento (aqui ); -
é o número que procuramos (o valor do logaritmo).
Passo 3
Vamos aplicar a definição ao nosso caso. Seja
Pela definição, isso é equivalente a
Passo 4
Usamos agora uma propriedade básica das potências: para todo
vale
Portanto podemos escrever o argumento
como potência de
:
Passo 5
Substituindo na equação da Definição temos
Como a função exponencial
(base
,
) é injetora, potências de mesma base iguais têm expoentes iguais. Logo
Passo 6
Interpretação prática e propriedade útil para a prova: sempre que o argumento do logaritmo for a própria base elevada a
, isto é,
, o resultado é
. Exemplos rápidos:
,
.