Calcule, pela definição, os seguintes logarítmos:
\log _{3}\left(\frac{1}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \log_{3}\!\left(\tfrac{1}{3}\right).
Informações dadas:
  • A base do logaritmo é 3.
  • O argumento do logaritmo é \tfrac{1}{3}, que é um número positivo (condição necessária para logaritmos reais).
    A tarefa é usar a definição (formal) de logaritmo para encontrar o valor numérico.

Passo 2

Recordando a definição de logaritmo (explicando com calma): \log_{b}(a)=c significa, por definição, que
b^{c}=a,
onde b>0, b\neq1 e a>0.
Aqui:
  • b é a base do logaritmo (aqui b=3);
  • a é o argumento (aqui a=\tfrac{1}{3});
  • c é o número que procuramos (o valor do logaritmo).

Passo 3

Vamos aplicar a definição ao nosso caso. Seja
x=\log_{3}\!\left(\tfrac{1}{3}\right).
Pela definição, isso é equivalente a
3^{x}=\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Usamos agora uma propriedade básica das potências: para todo a\neq0 vale
a^{-1}=\tfrac{1}{a}.
Portanto podemos escrever o argumento \tfrac{1}{3} como potência de 3:
\tfrac{1}{3}=3^{-1}.

Passo 5

Substituindo na equação da Definição temos
3^{x}=3^{-1}.
Como a função exponencial 3^{t} (base 3>0, 3\neq1) é injetora, potências de mesma base iguais têm expoentes iguais. Logo
x=-1.

Passo 6

Interpretação prática e propriedade útil para a prova: sempre que o argumento do logaritmo for a própria base elevada a -1, isto é, \log_{b}(b^{-1}), o resultado é -1. Exemplos rápidos: \log_{2}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-1, \log_{10}(0,1)=-1.

Resposta

-1

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