Ao acordar, um homem encontra, sobre sua cama, um projétil. Olhando ao redor, percebe um furo na janela de seu quarto, por onde o projétil deve ter entrado. Sabe-se que a temperatura do projétil, ao ser disparado, é de 120^{\circ} \mathrm{C}, que o condicionador de ar manteve a temperatura do quarto fixa em 20^{\circ} \mathrm{C}, e que a temperatura atual do projétil é de 76,25^{\circ} \mathrm{C}. Sabe-se ainda que a temperatura do projétil reduz, a cada hora, 1 / 4 de sua diferença para a temperatura ambiente. A quanto tempo o projétil foi disparado?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Temperatura inicial do projétil ao ser disparado: 120^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente do quarto (condicionador): 20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura atual do projétil encontrada sobre a cama: 76{,}25^\circ\mathrm{C}.
  • Informação sobre a variação: a cada hora a temperatura do projétil reduz de 1/4 da sua diferença para a temperatura ambiente. Em outras palavras, a cada hora a diferença entre a temperatura do projétil e a temperatura ambiente fica 3/4 do valor anterior.
Pergunta do enunciado:
  • A quanto tempo (em horas) o projétil foi disparado?

Passo 2

Entendendo o modelo físico (explicação didática):
A lei de resfriamento de Newton descreve como a temperatura T(t) de um objeto evolui quando está em contato com um ambiente de temperatura constante T_a. A forma diferencial dessa lei é
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T(t)-T_a\bigr),
onde:
  • T(t) é a temperatura do objeto no tempo t (em horas aqui),
  • T_a é a temperatura ambiente (constante),
  • k>0 é uma constante de proporcionalidade que mede a velocidade de troca de calor (quanto maior k, mais rápido o resfriamento),
  • t é o tempo desde o disparo (em horas).
A solução geral dessa equação diferencial, usando a técnica de separação de variáveis ou lembrando a forma exponencial, é
T(t) = T_a + \bigl(T_0 - T_a\bigr) e^{-k t},
onde T_0 é a temperatura inicial no tempo t=0. Essa fórmula diz: a diferença entre a temperatura do objeto e a ambiente decai exponencialmente com taxa k.

Passo 3

Relacionando a informação “a cada hora reduz 1/4 da diferença” com a formulação exponencial:
A afirmação “a cada hora a temperatura reduz 1/4 da sua diferença para o ambiente” pode ser escrita como relação entre T(t+1) e T(t):
T(t+1)-T_a = \frac{3}{4}\bigl(T(t)-T_a\bigr).
Isso significa que, após um intervalo de uma hora, a diferença para o ambiente foi multiplicada por \tfrac{3}{4}.
Pela solução exponencial, num intervalo de uma hora temos
T(t+1)-T_a = \bigl(T(t)-T_a\bigr) e^{-k\cdot 1} = \bigl(T(t)-T_a\bigr) e^{-k}.
Comparando as duas expressões, concluímos que
e^{-k} = \frac{3}{4}.
Isto é, a constante k satisfaz k = -\ln\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr). Não precisamos calcular k numericamente agora, pois a relação exponencial com base \tfrac{3}{4} já será suficiente.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso concreto (substituir os números e montar a equação):
No nosso problema:
  • T_0 = 120^\circ\mathrm{C},
  • T_a = 20^\circ\mathrm{C},
  • T(t) = 76{,}25^\circ\mathrm{C} (temperatura atual, em algum tempo t após o disparo).
Pela fórmula
T(t) = T_a + \bigl(T_0 - T_a\bigr) e^{-k t},
substituindo os valores numéricos obtemos
76{,}25 - 20 = \bigl(120 - 20\bigr) e^{-k t}.
Calcule as diferenças:
56{,}25 = 100\, e^{-k t}.
Dividindo ambos os lados por 100,
e^{-k t} = 0{,}5625.
Observe que 0{,}5625 = \dfrac{9}{16}. Usando a relação do passo anterior e^{-k}=\dfrac{3}{4}, podemos escrever
e^{-k t} = \bigl(e^{-k}\bigr)^t = \left(\frac{3}{4}\right)^t.
Portanto a equação fica
\left(\frac{3}{4}\right)^t = \frac{9}{16}.

Passo 5

Resolver a equação exponencial:
Reconheça que \dfrac{9}{16} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^2, porque \bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^2 = \tfrac{9}{16}. Logo
\left(\frac{3}{4}\right)^t = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \quad\Longrightarrow\quad t = 2.
Se preferir verificar usando logaritmos:
t = \frac{\ln\!\bigl(\tfrac{9}{16}\bigr)}{\ln\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)} = 2.
Interpretação: o projétil foi disparado há 2 horas antes do momento em que o homem o encontrou.

Resposta

2\\ \text{horas}

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