Ao acordar, um homem encontra, sobre sua cama, um projétil. Olhando ao redor, percebe um furo na janela de seu quarto, por onde o projétil deve ter entrado. Sabe-se que a temperatura do projétil, ao ser disparado, é de
, que o condicionador de ar manteve a temperatura do quarto fixa em
, e que a temperatura atual do projétil é de
. Sabe-se ainda que a temperatura do projétil reduz, a cada hora,
de sua diferença para a temperatura ambiente. A quanto tempo o projétil foi disparado?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
- Temperatura inicial do projétil ao ser disparado:
. - Temperatura ambiente do quarto (condicionador):
. - Temperatura atual do projétil encontrada sobre a cama:
. - Informação sobre a variação: a cada hora a temperatura do projétil reduz de
da sua diferença para a temperatura ambiente. Em outras palavras, a cada hora a diferença entre a temperatura do projétil e a temperatura ambiente fica do valor anterior.
Pergunta do enunciado:
- A quanto tempo (em horas) o projétil foi disparado?
Passo 2
Entendendo o modelo físico (explicação didática):
A lei de resfriamento de Newton descreve como a temperatura
de um objeto evolui quando está em contato com um ambiente de temperatura constante
. A forma diferencial dessa lei é
onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo (em horas aqui), -
é a temperatura ambiente (constante), -
é uma constante de proporcionalidade que mede a velocidade de troca de calor (quanto maior , mais rápido o resfriamento), -
é o tempo desde o disparo (em horas).
A solução geral dessa equação diferencial, usando a técnica de separação de variáveis ou lembrando a forma exponencial, é
onde
é a temperatura inicial no tempo
. Essa fórmula diz: a diferença entre a temperatura do objeto e a ambiente decai exponencialmente com taxa
.
Passo 3
Relacionando a informação “a cada hora reduz 1/4 da diferença” com a formulação exponencial:
A afirmação “a cada hora a temperatura reduz
da sua diferença para o ambiente” pode ser escrita como relação entre
e
:
Isso significa que, após um intervalo de uma hora, a diferença para o ambiente foi multiplicada por
.
Pela solução exponencial, num intervalo de uma hora temos
Comparando as duas expressões, concluímos que
Isto é, a constante
satisfaz
. Não precisamos calcular
numericamente agora, pois a relação exponencial com base
já será suficiente.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso concreto (substituir os números e montar a equação):
No nosso problema:
-
, -
, -
(temperatura atual, em algum tempo após o disparo).
Pela fórmula
substituindo os valores numéricos obtemos
Calcule as diferenças:
Dividindo ambos os lados por
,
Observe que
. Usando a relação do passo anterior
, podemos escrever
Portanto a equação fica
Passo 5
Resolver a equação exponencial:
Reconheça que
, porque
. Logo
Se preferir verificar usando logaritmos:
Interpretação: o projétil foi disparado há
horas antes do momento em que o homem o encontrou.