Calcule, pela definição, a transformada de Laplace das seguintes funções.
h(t)=t^{3}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de h(t)=t^{3}. O conteúdo envolvido é a definição
\mathcal{L}\{h\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,h(t)\,dt
e a propriedade geral para monômios em t. Vamos usar essas ideias para obter \mathcal{L}\{t^3\}(s).

Passo 2

Pela definição da transformada de Laplace, escrevemos
\mathcal{L}\{t^3\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,t^3\,dt,
com condição de convergência \Re(s)>0.

Passo 3

Recordamos o resultado clássico, que se obtém por extensão da função gama ou por partes repetidas: para inteiro n\ge0 e \Re(s)>0,
\int_{0}^{\infty}t^n e^{-st}dt = \frac{\Gamma(n+1)}{s^{\,n+1}} \quad\text{e}\quad \Gamma(n+1)=n!.

Passo 4

No nosso caso, n=3, então
\int_{0}^{\infty}t^3 e^{-st}dt =\frac{\Gamma(4)}{s^4} =\frac{3!}{s^4} =\frac{6}{s^4}.
Portanto
\mathcal{L}\{t^3\}(s)=\frac{6}{s^4},\qquad \Re(s)>0.

Resposta

\mathcal{L}\{t^3\}(s)=\frac{6}{s^4},\quad \Re(s)>0.

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