Verifique, utilizando o determinante Wronskiano, que os pares de funções dadas são linearmente independentes;
\left\{e^{2 x} \cos (3 x), e^{2 x} \operatorname{sen}(3 x)\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, pelo determinante Wronskiano, que as funções \;y_{1}(x)=e^{2x}\cos(3x) e \;y_{2}(x)=e^{2x}\sin(3x)
são linearmente independentes. O Wronskiano de duas funções y_{1},y_{2} é dado por
W(y_{1},y_{2})(x) =\begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\[6pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix},
e se W(x)\neq0 num intervalo então y_{1},y_{2} são linearmente independentes nesse intervalo.]

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas de y_{1} e y_{2} usando regra do produto e cadeia:
y_{1}'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)\cos(3x) +e^{2x}\frac{d}{dx}\bigl(\cos(3x)\bigr) =2e^{2x}\cos(3x)-3e^{2x}\sin(3x) =e^{2x}\bigl(2\cos(3x)-3\sin(3x)\bigr),
y_{2}'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr)\sin(3x) +e^{2x}\frac{d}{dx}\bigl(\sin(3x)\bigr) =2e^{2x}\sin(3x)+3e^{2x}\cos(3x) =e^{2x}\bigl(2\sin(3x)+3\cos(3x)\bigr).

Passo 3

Agora montamos o Wronskiano:
W(x) =\begin{vmatrix} e^{2x}\cos(3x) & e^{2x}\sin(3x)\\[6pt] e^{2x}\bigl(2\cos(3x)-3\sin(3x)\bigr) & e^{2x}\bigl(2\sin(3x)+3\cos(3x)\bigr) \end{vmatrix}.
Fatorando e^{2x} em cada linha:
W(x) =e^{2x}e^{2x} \begin{vmatrix} \cos(3x) & \sin(3x)\\[3pt] 2\cos(3x)-3\sin(3x) & 2\sin(3x)+3\cos(3x) \end{vmatrix} =e^{4x}\Bigl[\cos(3x)\bigl(2\sin(3x)+3\cos(3x)\bigr) -\sin(3x)\bigl(2\cos(3x)-3\sin(3x)\bigr)\Bigr].
Dentro dos colchetes temos
2\cos(3x)\sin(3x)+3\cos^2(3x) -2\sin(3x)\cos(3x)+3\sin^2(3x) =3\bigl(\cos^2(3x)+\sin^2(3x)\bigr)=3.
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W(x)=3e^{4x}.]

Passo 4

Como e^{4x}>0 para todo x, temos W(x)=3e^{4x}\neq0 em \mathbb{R}. Pelo critério do Wronskiano, isso implica que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.

Resposta

W(x)=3e^{4x}\neq0, portanto as funções são linearmente independentes.

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