Calcule \Delta \mathrm{S} (para o sistema) quando 1,50 \mathrm{~mol} de um gás perfeito diatômico, com \mathrm{C}_{\mathrm{p}, \mathrm{m}}=(7 / 2) \mathrm{R} passam do estado a 15^{\circ} \mathrm{C} e 1,20 \mathrm{~atm} para o estado a 145^{\circ} \mathrm{C} e 8,00 \mathrm{~atm}. Como se explica o sinal de \Delta s^{\circ} ?)

Passo 1

O enunciado pede o valor de \Delta S (variação de entropia do sistema) para n=1{,}50 mol de um gás ideal diatômico com capacidade molar a pressão constante \,C_{p,m}=(7/2)R, quando o gás vai do estado inicial com temperatura 15^\circ\mathrm{C} e pressão 1{,}20\\ \mathrm{atm} para o estado final com temperatura 145^\circ\mathrm{C} e pressão 8{,}00\\ \mathrm{atm}.
Informações dadas:
  • n = 1{,}50\\ \mathrm{mol}.
  • C_{p,m} = \dfrac{7}{2}R.
  • Estado inicial: T_1 = 15^\circ\mathrm{C}, P_1 = 1{,}20\\ \mathrm{atm}.
  • Estado final: T_2 = 145^\circ\mathrm{C}, P_2 = 8{,}00\\ \mathrm{atm}.
    O que se pede:
  • Calcular \Delta S do sistema entre esses dois estados.
  • Explicar o sinal de \Delta S.

Passo 2

Vamos obter a fórmula prática para \Delta S de um gás ideal entre dois estados ( T_1,P_1 \to T_2,P_2).
A partir da forma diferencial da entropia por mol para um gás ideal (usando S como função de T e V):
\mathrm{d}S_m = C_{V,m}\,\frac{\mathrm{d}T}{T} + R\,\frac{\mathrm{d}V}{V}.
Aqui C_{V,m} é a capacidade molar a volume constante, R é a constante dos gases e S_m é entropia por mol. Usando a equação de estado PV=RT (por mol) obtemos
\frac{\mathrm{d}V}{V}=\frac{\mathrm{d}T}{T}-\frac{\mathrm{d}P}{P}.
Substituindo:
\mathrm{d}S_m = C_{V,m}\,\frac{\mathrm{d}T}{T} + R\!\left(\frac{\mathrm{d}T}{T}-\frac{\mathrm{d}P}{P}\right) = (C_{V,m}+R)\frac{\mathrm{d}T}{T} - R\frac{\mathrm{d}P}{P}.
Como C_{p,m}=C_{V,m}+R, isso vira
\mathrm{d}S_m = C_{p,m}\,\frac{\mathrm{d}T}{T} - R\,\frac{\mathrm{d}P}{P}.
Integrando do estado 1 ao 2 e multiplicando por n para obter a variação total:
\Delta S = n\left[ C_{p,m}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\right].
Explicação rápida das variáveis:
  • n é o número de mols.
  • C_{p,m} é a capacidade molar a pressão constante (aqui dada).
  • R é a constante dos gases ( 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}).
  • Os logaritmos são naturais e exigem razões adimensionais (uso de pressões na mesma unidade, por exemplo atm).

Passo 3

Converter temperaturas para Kelvin e listar constantes:
T_1 = 15^\circ\mathrm{C} = 15 + 273{,}15 = 288{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 145^\circ\mathrm{C} = 145 + 273{,}15 = 418{,}15\\ \mathrm{K}.
Pressões já dadas em atm; ao formar a razão P_2/P_1 a unidade se cancela, então podemos usar atm diretamente:
P_1 = 1{,}20\\ \mathrm{atm},\qquad P_2 = 8{,}00\\ \mathrm{atm}.
Constante dos gases:
R = 8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}K^{-1}}.
Capacidade molar:
C_{p,m} = \frac{7}{2}R = 3{,}5\,R = 3{,}5\times 8{,}314 = 29{,}099\\ \mathrm{J\;mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 4

Calcular as razões e os logaritmos que aparecem na fórmula:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{418{,}15}{288{,}15}\approx 1{,}451249, \qquad \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\approx 0{,}37187.
\frac{P_2}{P_1}=\frac{8{,}00}{1{,}20}=\frac{20}{3}\approx 6{,}6666667, \qquad \ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\approx 1{,}897119985.

Passo 5

Calcular os termos da variação de entropia separadamente (para clareza didática):
Termo devido à variação de temperatura:
\Delta S_T = n\,C_{p,m}\,\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Substituindo:
n\,C_{p,m} = 1{,}50\times 29{,}099 = 43{,}6485\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
\Delta S_T = 43{,}6485 \times 0{,}37187 \approx 16{,}235\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Termo devido à variação de pressão (contribuição negativa):
\Delta S_P = -n\,R\,\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Substituindo:
nR = 1{,}50\times 8{,}314 = 12{,}471\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
\Delta S_P = -12{,}471\times 1{,}897119985 \approx -23{,}659\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 6

Somar as contribuições para obter \Delta S:
\Delta S = \Delta S_T + \Delta S_P \approx 16{,}235 + (-23{,}659) = -7{,}424\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\Delta S \approx -7{,}42\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 7

Interpretação do sinal (explicação didática e intuitiva):
  • O aquecimento ( T_1\to T_2) tende a aumentar a entropia (mais energia térmica e mais microestados acessíveis), por isso \Delta S_T>0.
  • O aumento considerável da pressão ( P_1\to P_2) corresponde a uma compressão efetiva quando se compara os estados a diferentes pressões; a compressão reduz o volume por mol e diminui o número de microestados disponíveis, gerando uma contribuição negativa \Delta S_P.
  • No caso numérico, a contribuição negativa associada ao grande aumento de pressão domina a contribuição positiva do aquecimento, resultando em \Delta S<0. Em outras palavras: o efeito da compressão (redução de desordem) vence o efeito do aquecimento (aumento de desordem).

Resposta

\Delta S \approx -7{,}42\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
O sinal negativo ocorre porque a contribuição negativa de compressão (termo -nR\ln(P_2/P_1)) é maior em módulo do que a contribuição positiva do aquecimento (termo nC_{p,m}\ln(T_2/T_1)).

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