Questão 1
Quais são as variações de entropia para o aquecimento de um mol de
de
a 100 K até
a 600 K se o processo é conduzido: (1) reversivelmente; (2) irreversivelmente, colocando o gás num forno a 750 K e deixando-o expandir contra uma pressão externa constante de
? Admita que para o
:
Passo 1
O enunciado pede as variações de entropia ao aquecer
mol de
do estado inicial para o estado final sob duas condições de processo. Dados fornecidos:
- Estado inicial:
, . - Estado final:
, . - Número de mols:
. - Para o
foi dada a capacidade térmica molar a volume constante (em unidades de ; observe a vírgula decimal):
- Constante dos gases:
.
As perguntas são:
(1) Qual a variação de entropia quando o processo é conduzido reversivelmente entre os dois estados?
(2) Se o processo for irreversível, colocando o gás num forno ae deixando-o expandir contra uma pressão externa constante , quais são as variações de entropia relevantes (sistema, vizinhança e total)?
Passo 2
Conceito e fórmula útil (aula rápida e prática).
- Para um gás ideal a uma mol, a entropia é função de estado e sua variação entre dois estados
pode ser calculada por:
Explicando cada termo:
-
é a contribuição à variação de entropia por aquecimento (a energia interna depende de ); integrar dá a contribuição térmica. -
vem da contribuição volumétrica para a entropia do gás ideal (derivada de e do fato ). - Esse resultado vale independentemente do caminho; ou seja,
é o mesmo para qualquer processo que leve o sistema entre os mesmos estados iniciais e finais (função de estado).
Passo 3
Cálculo da contribuição térmica
usando a forma polinomial dada.
Primeiro, identifiquemos os coeficientes (unidades ):
Primeiro, identifiquemos os coeficientes (unidades
escrevendo
.
Então
Então
Integramos termo a termo:
Agora substituímos
e
e calculamos em
(pois
está em cal):
Somando essas parcelas:
Passo 4
Contribuição volumétrica
.
-
e . - Usando
:
Passo 5
Soma para obter
(caso reversível — e em geral da função de estado).
Convertendo para joules (
):
Observação didática: como entropia é função de estado, esse valor vale para qualquer caminho que leve o sistema entre os estados dados. Portanto este é o resultado para o item (1).
Passo 6
Tratamento do caso (2) — processo irreversível: forno a
e expansão contra
.
- Lembrança e estratégia: para o processo irreversível o
entre os mesmos estados é o mesmo que calculado no caso reversível (função de estado). O que muda é a entropia da vizinhança (forno) e, portanto, a entropia total do universo. - Vamos calcular
, e .
Passo 7
Cálculo de
no caso irreversível.
- Pelo argumento de função de estado:
Passo 8
Cálculo do calor trocado
com a vizinhança no processo irreversível para obter
.
- Energia interna: para gás ideal,
. Integramos (em ) termo a termo:
Substituindo os valores e calculando (em
):
-
-
-
-
Somando:
Convertendo para joules:
Passo 9
Trabalho realizado contra a pressão externa constante:
-
. -
.
Passo 10
Calor trocado com o forno e variação de entropia da vizinhança.
- Pela primeira lei:
.
- O forno está a
; assumimos que é um reservatório térmico a temperatura praticamente constante. A variação de entropia do reservatório (vizinhança) é
Passo 11
Variação total de entropia (sistema + vizinhança) no processo irreversível.
Comentário final:
, conforme esperado para um processo irreversível isolado (segunda lei).
Resposta
(1)
(2)