Calcule o \Delta \mathrm{S}_{\text {total }} quando dois blocos de cobre ( \mathrm{MM}=63,55 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1} ), um com massa de 10,0 \mathrm{Kg} e outro com massa de 8,0 \mathrm{Kg}, sendo que o primeiro está na temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C} e o segundo na temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C}, são colocados em contato térmico, num vaso isolado, sabendo que a capacidade calorífica molar do do cobre sólido é 24,44 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a variação total de entropia \Delta S_{\text{total}} quando dois blocos de cobre, inicialmente a temperaturas diferentes, são postos em contato térmico num vaso isolado e chegam ao equilíbrio térmico.
Informações dadas (vou listar exatamente o que temos):
\begin{aligned} &\text{Massa do bloco 1: } m_1 = 10{,}0\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{Massa do bloco 2: } m_2 = 8{,}0\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{Temperatura inicial do bloco 1: } T_{1,i} = 100^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Temperatura inicial do bloco 2: } T_{2,i} = 0^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Massa molar do cobre: } MM = 63{,}55\\ \mathrm{g\,mol^{-1}},\\\ &\text{Capacidade calorífica molar do cobre sólido: } C_m = 24{,}44\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}},\\\ &\text{o sistema é isolado (sem troca de calor com o ambiente).} \end{aligned}íóé
O que vamos procurar: \Delta S_{\text{total}}=\Delta S_1+\Delta S_2, sendo \Delta S_1 a variação de entropia do bloco que estava quente e \Delta S_2 a do bloco frio.

Passo 2

Converter massas molares e calcular o número de mols de cada bloco.
Primeiro, converter a massa molar para as mesmas unidades das massas (kg/mol):
MM = 63{,}55\\ \mathrm{g\,mol^{-1}} = 0{,}06355\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
Número de mols de cada bloco:
\begin{aligned} n_1 &= \dfrac{m_1}{MM} = \dfrac{10{,}0\\ \mathrm{kg}}{0{,}06355\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}},\\[6pt] n_2 &= \dfrac{m_2}{MM} = \dfrac{8{,}0\\ \mathrm{kg}}{0{,}06355\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}}. \end{aligned}
Agora faço as divisões com cuidado:
\begin{aligned} n_1 &\approx 157{,}36\\ \mathrm{mol},\\[3pt] n_2 &\approx 125{,}89\\ \mathrm{mol}. \end{aligned}
(Somei-as se precisar mais adiante) \;n_{\text{tot}}=n_1+n_2\approx 283{,}25\\ \mathrm{mol}.]

Passo 3

Determinar a temperatura de equilíbrio T_f usando conservação de energia (visto que o vaso é isolado, o calor perdido por um é ganho pelo outro).
Energia interna trocada (com capacidade molar constante) é proporcional a n C_m \Delta T. Conservação de energia:
n_1 C_m (T_{1,i}-T_f) + n_2 C_m (T_{2,i}-T_f) = 0.
Podemos simplificar C_m e reorganizar:
n_1 T_{1,i} + n_2 T_{2,i} = (n_1+n_2) T_f.
Observação importante: para essa média ponderada podemos usar temperaturas em kelvin ou em graus Celsius, desde que tratemos diferenças; aqui é mais seguro passar para kelvin antes de calcular entropias (porque depois precisaremos de razões de temperatura). Vou trabalhar em kelvin: \;T_{1,i}=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K} e \;T_{2,i}=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}.
Calculo de T_f:
T_f = \dfrac{n_1 T_{1,i} + n_2 T_{2,i}}{n_1+n_2}.
Substituindo os valores numéricos (mostrando o produto para transparência):
\begin{aligned} n_1 T_{1,i} &\approx 157{,}36\times 373{,}15 \approx 58718{,}88,\\[4pt] n_2 T_{2,i} &\approx 125{,}89\times 273{,}15 \approx 34386{,}85,\\[4pt] \text{somando: } &\;58718{,}88+34386{,}85 \approx 93105{,}73. \end{aligned}
T_f \approx \dfrac{93105{,}73}{283{,}25} \approx 328{,}72\\ \mathrm{K}.
Convertendo para graus Celsius (só para intuição):
T_f \approx 328{,}72\\ \mathrm{K} - 273{,}15 \approx 55{,}57^\circ\mathrm{C}.]

Passo 4

Lembrar a fórmula da variação de entropia para um corpo cuja capacidade calorífica molar é constante: a variação de entropia quando a temperatura varia reversivelmente de T_i para T_f é
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \dfrac{dQ_{\text{rev}}}{T}.
Para um sólido com capacidade calorífica molar constante C_m, dQ_{\text{rev}} = n C_m\, dT. Substituindo:
\Delta S = n C_m \int_{T_i}^{T_f} \dfrac{dT}{T} = n C_m \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_i}\right).
Explicando as variáveis:
  • n é o número de mols do bloco;
  • C_m é a capacidade calorífica molar (em \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}});
  • T_i e T_f são temperaturas iniciais e finais em kelvin;
  • \Delta S tem unidade \mathrm{J\,K^{-1}}.
Aplicaremos essa fórmula separadamente para cada bloco:
\begin{aligned} \Delta S_1 &= n_1 C_m \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_{1,i}}\right),\\[4pt] \Delta S_2 &= n_2 C_m \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_{2,i}}\right). \end{aligned}]

Passo 5

Calcular numericamente \Delta S_1 e \Delta S_2, mostrando os passos aritméticos.
Primeiro calculo alguns produtos:
\begin{aligned} n_1 C_m &\approx 157{,}36\times 24{,}44 \approx 3845{,}88\\ \mathrm{J\,K^{-1}},\\[4pt] n_2 C_m &\approx 125{,}89\times 24{,}44 \approx 3076{,}75\\ \mathrm{J\,K^{-1}}. \end{aligned}
Agora as razões de temperatura (usando kelvin):
\begin{aligned} \dfrac{T_f}{T_{1,i}} &\approx \dfrac{328{,}72}{373{,}15} \approx 0{,}8811,\\[4pt] \dfrac{T_f}{T_{2,i}} &\approx \dfrac{328{,}72}{273{,}15} \approx 1{,}2031. \end{aligned}
Tomando logaritmos naturais:
\begin{aligned} \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_{1,i}}\right) &\approx \ln(0{,}8811) \approx -0{,}1263,\\[4pt] \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_{2,i}}\right) &\approx \ln(1{,}2031) \approx 0{,}1841. \end{aligned}
Finalmente, as variações de entropia:
\begin{aligned} \Delta S_1 &\approx 3845{,}88 \times (-0{,}1263) \approx -485{,}63\\ \mathrm{J\,K^{-1}},\\[4pt] \Delta S_2 &\approx 3076{,}75 \times 0{,}1841 \approx 566{,}02\\ \mathrm{J\,K^{-1}}. \end{aligned}
Interpretação rápida: o bloco quente perde entropia (valor negativo) e o bloco frio ganha entropia (valor positivo).]

Passo 6

Somar as contribuições para obter a variação total de entropia do processo (que, por ser irreversível no conjunto mas isolado, deve ser positiva):
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_1 + \Delta S_2 \approx -485{,}63 + 566{,}02 \approx 80{,}39\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas dadas os dados) podemos usar 80{,}4\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Parabéns — o resultado positivo confirma que a entropia total do sistema isolado aumentou, conforme esperado pela segunda lei da termodinâmica. Força aí, você já entendeu o procedimento: transformar massas em mols, usar conservação de energia para achar T_f e aplicar \Delta S = n C_m \ln(T_f/T_i) para cada corpo.

Resposta

\Delta S_{\text{total}} = 80{,}4\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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