Q2) O filamento de uma lâmpada é cilíndrico, com comprimento
e raio
. O filamento é mantido a uma temperatura
por uma corrente elétrica. O filamento se comporta aproximadamente como um corpo negro, emitindo radiação isotropicamente. À noite, você observa a lâmpada a uma distância
, com a pupila totalmente dilatada, com um raio
. (a) Qual é a potência total irradiada pelo filamento? (b) Quanta potência de radiação entra no seu olho? (c) Em qual comprimento de onda o filamento irradia a maior potência? (d) Quantos fótons irradiados entram no seu olho a cada segundo? Você pode assumir que o comprimento de onda médio da radiação é
600 nm .
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas, e nos dá vários dados numéricos. Vou listar claramente o que é pedido e tudo o que foi dado.
Perguntas do enunciado:
- (a) Qual é a potência total irradiada pelo filamento?
- (b) Que potência de radiação entra no seu olho (pela pupila)?
- (c) Em qual comprimento de onda o filamento irradia a maior potência?
- (d) Quantos fótons irradiados entram no seu olho a cada segundo? (usar comprimento de onda médio
).
Dados fornecidos:
A partir daqui começamos a resolver cada item passo a passo.
Passo 2
(a) Potência total irradiada pelo filamento — usar a lei de Stefan–Boltzmann.
Aula rápida: a lei de Stefan–Boltzmann diz que a potência emitida por unidade de área de um corpo negro é proporcional a
. A potência total emitida por uma superfície com área
é
onde
é potência em watts,
é área em
,
é a constante de Stefan–Boltzmann e
é a temperatura em kelvin. Aqui o filamento é cilíndrico e fininho, então consideramos apenas a área lateral (as tampas nas extremidades são desprezíveis).
Calcular a área lateral do cilindro:
Substituindo
e
:
Agora calcular
:
Aplicando Stefan–Boltzmann:
Fazendo as contas em etapas:
Portanto, a potência total irradiada pelo filamento é aproximadamente
(ou cerca de
).
Passo 3
(b) Potência de radiação que entra no seu olho.
Aula rápida: se a fonte emite isotropicamente (mesma potência por unidade de ângulo sólido), a fração da potência total que entra em uma abertura pequena a distância
é a razão entre a área projetada da abertura e a área da esfera de raio
. A área da pupila é
. A área da superfície esférica é
. Logo a fração é
Substituindo valores:
Assim a potência que entra no olho é
Calculando:
Interpretação: isso é pouquíssimo — alguns picowatts (na verdade femto/picowatt range) — o que faz sentido porque a distância é enorme comparada ao tamanho da pupila.
Passo 4
(c) Comprimento de onda onde o filamento irradia a maior potência — usar a lei de deslocamento de Wien.
Aula rápida: a lei de Wien diz que o comprimento de onda de máxima emissão de um corpo negro satisfaz
onde
é a constante de deslocamento de Wien. Então
Substituindo
e
:
Comentário:
está no amarelo, bem dentro da faixa visível — por isso filamentos quentes parecem brancos-amarelados.
Passo 5
(d) Quantos fótons irradiados entram no seu olho por segundo (usar
dado).
Aula rápida: a energia de um fóton de comprimento de onda
é
onde
é a constante de Planck e
é a velocidade da luz. O número de fótons por segundo que chegam é a potência que entra no olho dividida pela energia de um fóton:
Calcular
para
:
Agora usar
:
Interpretação: cerca de
fótons por segundo entram no olho — muitos fótons por segundo, embora a potência seja extremamente pequena; o olho humano pode detectar com poucos fótons por intervalo curto, então faz sentido que você ainda “veja” a lâmpada à noite.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)