Q2) O filamento de uma lâmpada é cilíndrico, com comprimento l=20 \mathrm{~mm} e raio r=0,05 \mathrm{~mm}. O filamento é mantido a uma temperatura T=5000 \mathrm{~K} por uma corrente elétrica. O filamento se comporta aproximadamente como um corpo negro, emitindo radiação isotropicamente. À noite, você observa a lâmpada a uma distância D=10 \mathrm{~km}, com a pupila totalmente dilatada, com um raio \rho=3 \mathrm{~mm}. (a) Qual é a potência total irradiada pelo filamento? (b) Quanta potência de radiação entra no seu olho? (c) Em qual comprimento de onda o filamento irradia a maior potência? (d) Quantos fótons irradiados entram no seu olho a cada segundo? Você pode assumir que o comprimento de onda médio da radiação é \lambda= 600 nm .

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas, e nos dá vários dados numéricos. Vou listar claramente o que é pedido e tudo o que foi dado.
Perguntas do enunciado:
  • (a) Qual é a potência total irradiada pelo filamento?
  • (b) Que potência de radiação entra no seu olho (pela pupila)?
  • (c) Em qual comprimento de onda o filamento irradia a maior potência?
  • (d) Quantos fótons irradiados entram no seu olho a cada segundo? (usar comprimento de onda médio \lambda=600\\ \mathrm{nm}).
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{comprimento do filamento: } l = 20\\ \mathrm{mm} = 2\times10^{-2}\\ \mathrm{m},\\\ &\text{raio do filamento: } r = 0{,}05\\ \mathrm{mm} = 5\times10^{-5}\\ \mathrm{m},\\\ &\text{temperatura: } T = 5000\\ \mathrm{K},\\\ &\text{distância até a lâmpada: } D = 10\\ \mathrm{km} = 1\times10^{4}\\ \mathrm{m},\\\ &\text{raio da pupila: } \rho = 3\\ \mathrm{mm} = 3\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\\\ &\text{suposição: filamento se comporta como corpo negro e emite isotropicamente},\\\ &\text{constante de Stefan–Boltzmann: } \sigma \approx 5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}},\\\ &\text{constante de Wien: } b \approx 2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K},\\\ &\text{constantes para fóton: } h \approx 6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s},\\ c \approx 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}âéâçãó
A partir daqui começamos a resolver cada item passo a passo.

Passo 2

(a) Potência total irradiada pelo filamento — usar a lei de Stefan–Boltzmann.
Aula rápida: a lei de Stefan–Boltzmann diz que a potência emitida por unidade de área de um corpo negro é proporcional a T^{4}. A potência total emitida por uma superfície com área A é
P = A\,\sigma\,T^{4},
onde P é potência em watts, A é área em \mathrm{m^{2}}, \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann e T é a temperatura em kelvin. Aqui o filamento é cilíndrico e fininho, então consideramos apenas a área lateral (as tampas nas extremidades são desprezíveis).
Calcular a área lateral do cilindro:
A = 2\pi r l.
Substituindo r e l:
A = 2\pi (5\times10^{-5})(2\times10^{-2}) = 2\pi\times10^{-6} \approx 6{,}283\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora calcular T^{4}:
T^{4} = (5000)^{4} = 6{,}25\times10^{14}\\ \mathrm{K^{4}}.
Aplicando Stefan–Boltzmann:
\begin{aligned} P &= A\,\sigma\,T^{4} \\\ &= (6{,}283\times10^{-6})\,(5{,}67\times10^{-8})\,(6{,}25\times10^{14}). \end{aligned}
Fazendo as contas em etapas:
\sigma T^{4} \approx 5{,}67\times10^{-8}\times6{,}25\times10^{14} \approx 3{,}54375\times10^{7}\\ \mathrm{W\,m^{-2}},
P \approx 3{,}54375\times10^{7}\times6{,}283\times10^{-6} \approx 2{,}23\times10^{2}\\ \mathrm{W}.
Portanto, a potência total irradiada pelo filamento é aproximadamente \,2{,}23\times10^{2}\\ \mathrm{W} (ou cerca de 223\\ \mathrm{W}).

Passo 3

(b) Potência de radiação que entra no seu olho.
Aula rápida: se a fonte emite isotropicamente (mesma potência por unidade de ângulo sólido), a fração da potência total que entra em uma abertura pequena a distância D é a razão entre a área projetada da abertura e a área da esfera de raio D. A área da pupila é A_{\text{pupila}}=\pi\rho^{2}. A área da superfície esférica é 4\pi D^{2}. Logo a fração é
\text{fração}=\frac{\pi\rho^{2}}{4\pi D^{2}}=\frac{\rho^{2}}{4D^{2}}.çã
Substituindo valores:
\frac{\rho^{2}}{4D^{2}} = \frac{(3\times10^{-3})^{2}}{4(1\times10^{4})^{2}} = \frac{9\times10^{-6}}{4\times10^{8}} = 2{,}25\times10^{-14}.
Assim a potência que entra no olho é
P_{\text{olho}} = P_{\text{total}}\times\frac{\rho^{2}}{4D^{2}} \approx 2{,}23\times10^{2}\times2{,}25\times10^{-14}.
Calculando:
P_{\text{olho}} \approx 5{,}01\times10^{-12}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: isso é pouquíssimo — alguns picowatts (na verdade femto/picowatt range) — o que faz sentido porque a distância é enorme comparada ao tamanho da pupila.

Passo 4

(c) Comprimento de onda onde o filamento irradia a maior potência — usar a lei de deslocamento de Wien.
Aula rápida: a lei de Wien diz que o comprimento de onda de máxima emissão de um corpo negro satisfaz
\lambda_{\max} \, T = b,
onde b é a constante de deslocamento de Wien. Então
\lambda_{\max} = \frac{b}{T}.
Substituindo b=2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K} e T=5000\\ \mathrm{K}:
\lambda_{\max} = \frac{2{,}898\times10^{-3}}{5000} = 5{,}796\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 580\\ \mathrm{nm}\\ (\text{aprox.}).
Comentário: 580\\ \mathrm{nm} está no amarelo, bem dentro da faixa visível — por isso filamentos quentes parecem brancos-amarelados.

Passo 5

(d) Quantos fótons irradiados entram no seu olho por segundo (usar \lambda=600\\ \mathrm{nm} dado).
Aula rápida: a energia de um fóton de comprimento de onda \lambda é
E_{\text{fóton}} = \frac{hc}{\lambda},ó
onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz. O número de fótons por segundo que chegam é a potência que entra no olho dividida pela energia de um fóton:
\dot{N} = \frac{P_{\text{olho}}}{E_{\text{fóton}}}.ó
Calcular E_{\text{fóton}}ó para \lambda=600\\ \mathrm{nm}=6\times10^{-7}\\ \mathrm{m}:
E_{\text{fóton}} = \frac{6{,}626\times10^{-34}\times3{,}00\times10^{8}}{6\times10^{-7}} \approx 3{,}31\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó
Agora usar P_{\text{olho}}\approx5{,}01\times10^{-12}\\ \mathrm{W}:
\dot{N} = \frac{5{,}01\times10^{-12}}{3{,}31\times10^{-19}} \approx 1{,}51\times10^{7}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Interpretação: cerca de 1,5\times10^{7} fótons por segundo entram no olho — muitos fótons por segundo, embora a potência seja extremamente pequena; o olho humano pode detectar com poucos fótons por intervalo curto, então faz sentido que você ainda “veja” a lâmpada à noite.

Resposta

(a) 2{,}23\times10^{2}\\ \mathrm{W}
(b) 5{,}01\times10^{-12}\\ \mathrm{W}
(c) \lambda_{\max}\approx5{,}80\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=580\\ \mathrm{nm}
(d) \dot{N}\approx1{,}51\times10^{7}\\ \mathrm{s^{-1}}

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