Q6) Uma fonte de luz de comprimento de onda \lambda ilumina um metal e ejeta fotoelétrons com energia cinética máxima de 1,00 \mathrm{eV}. Uma segunda fonte de luz com metade do comprimento de onda da primeira ejeta fotoelétrons com energia cinética máxima de 4,00 \mathrm{eV}. Determine a função trabalho do metal.

Passo 1

O enunciado pede que você determine a função trabalho do metal (energia mínima necessária para ejetar um elétron). As informações dadas são:
  • Uma fonte de luz de comprimento de onda \lambda ejeta fotoelétrons com energia cinética máxima de 1{,}00\\ \mathrm{eV}.
  • Uma segunda fonte de luz com metade do comprimento de onda da primeira (ou seja, \lambda/2) ejeta fotoelétrons com energia cinética máxima de 4{,}00\\ \mathrm{eV}.
  • Pergunta: qual é a função trabalho do metal? (ou seja, o valor de \varphi, em \mathrm{eV}.)

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicado passo a passo).
Quando um fóton incide no metal, parte da energia do fóton pode sair como energia cinética máxima do fotoelétron e parte é gasta vencendo a função trabalho do metal. Essa relação de conservação de energia é expressa por
K_{\max} = h\nu - \varphi,
onde:
  • K_{\max} é a energia cinética máxima do elétron emitido (em \mathrm{eV} se quisermos trabalhar em eV),
  • h é a constante de Planck (unidade de energia·tempo),
  • \nu é a frequência da luz (unidade de \mathrm{s}^{-1}),
  • \varphi é a função trabalho do metal (energia mínima para liberar o elétron, unidade de energia).
    Também usamos a relação entre frequência e comprimento de onda:
\nu = \frac{c}{\lambda},
onde c é a velocidade da luz. Assim a energia do fóton pode ser escrita como
E_{\text{fóton}} = h\nu = \frac{hc}{\lambda}.ó
No nosso cálculo é conveniente chamar E_1 a energia do fóton com comprimento de onda \lambda, ou seja,
E_1 = \frac{hc}{\lambda}.
Para a segunda fonte, com comprimento de onda \lambda/2, a energia do fóton é
E_2 = \frac{hc}{\lambda/2} = 2\frac{hc}{\lambda} = 2E_1.

Passo 3

Aplicando a fórmula K_{\max} = E_{\text{fóton}} - \varphió a cada fonte, escrevemos duas equações com as incógnitas E_1 e \varphi:
  • Para a luz de comprimento de onda \lambda:
1{,}00 = E_1 - \varphi.
Aqui estou usando que K_{\max}=1{,}00\\ \mathrm{eV} e que E_{\text{fóton}}=E_1ó.
  • Para a luz de comprimento de onda \lambda/2:
4{,}00 = E_2 - \varphi = 2E_1 - \varphi,
pois E_2 = 2E_1 (mostrado no passo anterior).

Passo 4

Vamos eliminar \varphi subtraindo a primeira equação da segunda. Isso é uma técnica simples de resolver um sistema de duas equações lineares:
(4{,}00) - (1{,}00) = (2E_1 - \varphi) - (E_1 - \varphi).
No lado direito, os termos -\varphi se cancelam, sobrando
3{,}00 = 2E_1 - E_1 = E_1.
Logo obtemos diretamente
E_1 = 3{,}00\\ \mathrm{eV}.
Agora voltamos à primeira equação para achar \varphi:
1{,}00 = E_1 - \varphi \quad\Rightarrow\quad \varphi = E_1 - 1{,}00.
Substituindo E_1 = 3{,}00\\ \mathrm{eV},
\varphi = 3{,}00 - 1{,}00 = 2{,}00\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Verificação rápida e intuição: dobrar a energia do fóton (já que comprimento de onda corta pela metade) aumenta a energia disponível do fóton em E_1. Pelos dados, a energia cinética aumentou de 1{,}00\\ \mathrm{eV} para 4{,}00\\ \mathrm{eV}, um aumento de 3{,}00\\ \mathrm{eV}, que corresponde exatamente a E_1. Isso confirma que nossos cálculos estão consistentes. Força aí — você já tem a função trabalho e entendeu como montar e resolver o sistema!

Resposta

\varphi = 2{,}00\\ \mathrm{eV}

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